Почему принцип относительности Галилея и преобразования Галилея теряют смысл при скоростях, близких к скорости света?

Никакого смысла он не теряет. Однако его предсказания противоречат экспериментальным данным, согласно которым оказалось, что скорость света во всех системах остаётся неизменной. Только поэтому галилеевский принцип относительности и пришлось уточнить.

И да и нет.
Принцип Галилея гласит, что никакими механическими опытами невозможно определить, движется ли система отсчёта равномерно и прямолинейно или покоится. Уже их этой формулировки ясно, что скорость света тут никаким боком, потому что речь идёт о МЕХАНИЧЕКИХ опытах. И то, что скорость света оказалась постоянной во всех системах отсчёта, никоим образом не сказывается на справедливости самого ПРИНЦИПА. Просто Эйнштейн распространил этот принцип не только на механические, но и на электромагнитные явления.
А вот ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Галилея - вот они как раз перестают быть справедливыми. И это как раз связано с тем, что свойства пространства, как тут уже отмечали, не являются абсолютными и неизменными - они зависят от выбора системы отсчёта.

Потому что при таких скоростях утрачивает силу основная предпосылка, на которой базируются преобразования (и принцип) Галилея. Точнее, их две: однородность времени и однородность пространства.

если иметь в виду только принцип галилея то смысл не может теряться т. к. по галилею скорость света бесконечна и "скорости близкие к скорости света" практически недостижимы для субсветовых объектов

если постулировать постоянство скорости света и не отказываться от принципа галилея - выйдет что свет испущенный движущимся источником будет распростраться быстрее своего же предела в направлении движения источника и медленнее в противоположном

если вспомнить преобразования лоренца при движении вдоль координатной оси и разложить их в ряд маклорена как функцию от t=v/c то получим первое слагаемое = выражение преобразования галилея + O(v^2/c^2). при малых значениях v O(v^2/c^2) величина малая и преобразования галилея довольно точно приближают весь ряд. а при v~c хвост ряда ~ O(1) вот и получается