Естественные науки
У трёх пиратов есть пять монет достоинством в 1 череп, 2 черепа, 4 черепа, 8 черепов и 16 черепов... ( см. далее )
Сколькими способами можно поделить монеты между пиратами так,чтобы каждому досталось хотя бы по одной монете?
Моим способом
1.Раскладываем монеты на три кучки
1+1+3
Выбираем 2 монеты, которые будут по одной – С из 5 по 2= 10 способов. Оставшиеся 3 – третья кучка.
1+2+2.
Выбираем 1 – 5 способов, разбиваем 4 оставшиеся на 2 кучки – выбираем 2 из 4, С из 4 по 2 и делим на 2, т. к. всё равно, что выбрать, что оставить – получится один способ, который мы посчитали за 2. Всего 5*3=15 способов.
Итого разбить на кучки 25 способов.
2.Распределяем пиратов по кучкам (разным!) . 3!=6 способов.
Получили в итоге 6*25=150 способов.
Вашим способом.
1.Первому – 1 монету, 5 способов. Тогда второму от 1 до 3 монет из оставшихся 4.
1 монета -4 способа,
2 монеты – С из 4 по 2 = 6 способов (Вы забывали делить на 2, выбор монеты в порядке 16 и 8 – то же самое, что 8 и 16 – в итоге у пирата одни и те же монеты)
3 монеты – 4 способа (одну оставить)
Итого 5(4+6+4)=70
2.Первому – 2 монеты, С из 5 по 2=10 способов. Тогда второму от 1 до 2 из оставшихся 3.
1 монета -3 способа,
2 монеты -3 способа (одну оставить)
Итого 10(3+3)=60 способов.
3.Первому – 3 монеты, С из 5 по 3 =10 способов. Тогда второму 1 из оставшихся 2 – 2 способа.
Итого – 10*2= 20 способов.
Всего 70+60+20=150 способов.
1.Раскладываем монеты на три кучки
1+1+3
Выбираем 2 монеты, которые будут по одной – С из 5 по 2= 10 способов. Оставшиеся 3 – третья кучка.
1+2+2.
Выбираем 1 – 5 способов, разбиваем 4 оставшиеся на 2 кучки – выбираем 2 из 4, С из 4 по 2 и делим на 2, т. к. всё равно, что выбрать, что оставить – получится один способ, который мы посчитали за 2. Всего 5*3=15 способов.
Итого разбить на кучки 25 способов.
2.Распределяем пиратов по кучкам (разным!) . 3!=6 способов.
Получили в итоге 6*25=150 способов.
Вашим способом.
1.Первому – 1 монету, 5 способов. Тогда второму от 1 до 3 монет из оставшихся 4.
1 монета -4 способа,
2 монеты – С из 4 по 2 = 6 способов (Вы забывали делить на 2, выбор монеты в порядке 16 и 8 – то же самое, что 8 и 16 – в итоге у пирата одни и те же монеты)
3 монеты – 4 способа (одну оставить)
Итого 5(4+6+4)=70
2.Первому – 2 монеты, С из 5 по 2=10 способов. Тогда второму от 1 до 2 из оставшихся 3.
1 монета -3 способа,
2 монеты -3 способа (одну оставить)
Итого 10(3+3)=60 способов.
3.Первому – 3 монеты, С из 5 по 3 =10 способов. Тогда второму 1 из оставшихся 2 – 2 способа.
Итого – 10*2= 20 способов.
Всего 70+60+20=150 способов.
Формула включений и исключений.
3^5-C(3,2)*2^5+C(3,1)1^5=150.
C(n,m)- число сочетаний из n по m=n!/(m!(n-m)!)
3^5-C(3,2)*2^5+C(3,1)1^5=150.
C(n,m)- число сочетаний из n по m=n!/(m!(n-m)!)
3 в 5 - й степени способов, то есть всего 243 способа.
Рассуждение.
Все монеты разные. При любом способе дележки каждой из них можно сопоставить ровно одну из букв А, Б, В (в зависимости от того, кому из трех пиратов она достанется) . Также для каждого способа дележки можно записать эти буквы в порядке возрастания достоинства монет. И тогда каждому способу распределения монет будет соответствовать одно сочетание букв ("слово").
Начиная от ААААА (все монеты достались первому пирату) , ААААБ (монета в 16 черепов досталась второму пирату, а все остальные - первому) и так далее до ВВВВВ (все досталось третьему пирату) . Очевидно, всего таких "слов" будет 3*3*3*3*3=243.
P.S.
Кстати, если уж привлекать термины комбинаторики, тут вовсе не сочетания без повторений, и уж тем более не формула включений и исключений. Здесь простое "размещение с повторениями из 3 по 5".
Рассуждение.
Все монеты разные. При любом способе дележки каждой из них можно сопоставить ровно одну из букв А, Б, В (в зависимости от того, кому из трех пиратов она достанется) . Также для каждого способа дележки можно записать эти буквы в порядке возрастания достоинства монет. И тогда каждому способу распределения монет будет соответствовать одно сочетание букв ("слово").
Начиная от ААААА (все монеты достались первому пирату) , ААААБ (монета в 16 черепов досталась второму пирату, а все остальные - первому) и так далее до ВВВВВ (все досталось третьему пирату) . Очевидно, всего таких "слов" будет 3*3*3*3*3=243.
P.S.
Кстати, если уж привлекать термины комбинаторики, тут вовсе не сочетания без повторений, и уж тем более не формула включений и исключений. Здесь простое "размещение с повторениями из 3 по 5".
Зина Селимханова
А как же условие, что каждому досталась хотя бы одна монета?
Галия Жунусова
Упустил это условие, когда читал. Тогда, при решении по своему методу, получаю 243-3*32+3=150 способов... Как здесь получили другими методами...
25 способов
Похожие вопросы
- Верующие, под A - череп шимпанзе, под N - череп человека разумного, остальные буквы - промежуточные виды. Есть вопросы?
- чем череп чел-ка отличается от черепа других млекопитающих????
- Чем объясняют учёные приплюснутые черепа египетской знати? Очень необчная форма черепов у египетских фараонов. Почему?
- Череп Дриопитека Описанние черепа Дриопитека
- Почему черепа Азиатов в среднем крупнее чем черепа остальных рас? И в основном имеют узкие челюсти с маленьким
- Верите ли вы, что находили череп 2 м? В книге Еноха пишут, что исполины по полтора километра ростом были
- Стоит ли искать встречи с пришельцами, хотя своя планета еще не познана.. (см. далее)
- Допустим, что 2-рублёвая монета вдвое тяжелее 1-рублёвой.Что дороже - полтонны 2-рублёвых монет или тонна 1-рублёвых?
- Как пишется по английски 1, 2, 3. 4, 5. 6. 7. 8. 9, 10, 11. 12. 13. 14, 15. 16. 17, 18. 19. 20.
- 32 карты "Спортлото 5 из 36" я заполнил так: 1-2-3-4-5; 1-2-3-4-6; и т. д. , до 1-2-3-4-36. Для выигрыша требуется...
Для полноты картины, обоснование одного из ранее полученных ответов.
Формула включений и исключений
А - все способы =3^5
B- хотя бы одному не досталось = С из 5 по 2*2^5
C- двум не досталось = С из 5 по 1
D - всем досталось хотя бы по одной
D=A-B+C
(т.к. вычитая В мы вычитаем способы «двум не досталось» дважды – не досталось ровно одному и ровно двум)