Существуют ли в настоящее время теории, согласно которым наше пространство имеет мерность больше 3?

Эти теории опровергнуты экспериментально.
Как известно законы физики зависят от размерности пространства. Например, закон всемирного тяготения Ньютона в трехмерном пространстве работает так, что сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. В пространстве с другим числом измерений степень расстояния уже другая. (Иначе не получается непротиворечивой физики. ) Поэтому делая в экспериментах очень точные измерения гравитационной постоянной, можно очень точно оценить показатель степени расстояния. То есть на сколько этот показатель близок к квадрату расстояния для силы притяжения.
Такие эксперименты реально проводились для оценки размерности нашего пространства. Получился результат, что с очень хорошей точностью наше пространство можно считать трехмерным. Отклонение от тройки составляет не более десять в минус двенадцатой степени.
То есть теоретически наше пространство может иметь размерность (фрактальную) больше трех, например, 3,0000000000000234 (или меньше трех, например, 2,9999999999999953).
Но это на столько малое отклонение от числа 3, что им можно смело пренебречь в любой практической деятельности.
А всякие теории 4-мерного или 10-мерного пространства никуда не годятся.

Оно вообще-то и так имеет мерность больше трёх - четыре.

В струнных теориях до 26, но они проявляются только в микромире элементарных частиц.

:) ну дружище ты даешь.
вроде даже борода есть на фото.
все теории семейства струнных предполагают что мерность больше 3-х.

До 10. На Ютубе есть интереснейшие обучающие ролики "для чайников".

Есть, но в этих теориях все лишние измерения сверх трёх свёрнуты до микросокопических размеров. Так что на макроуровне пространство выглядит как нормальное трёхмерное, а в микромире появляются дополнительные измерения.

Да придумано много разновидностей и степеней мерного пространства, только пока что человеческий мозг не всегда справляется с 4-я измерениями, что уж говорить о 5 и более мерностей. Физически не поймем, мы и так живем в мире илюзий поражденных мозгом. Проще научить таракана решать логарифмы:)

Теории струн. Из много разных модификаций. Обычно размерность которую они используют равна 10
Школьные теории физики используют четвертую меру-время.
тем не менее есть еще мембранная теория, практически неподтвержденная в жизни. Когда я разговаривал с иностранными учеными которые занимаются ей, они сказали мне фразу.. . "Мы ввели 11-тую меру и стало так красиво всё". Ну или что-то в этом роде)
Тем не менее, лично для меня, понятно только 2 мерное пространство. Лично человек видит все двумерно. И на самом деле, он уже потом представляет, что пространство в котором он находится трехмерно