Влияет ли гравитация на горизонтальную скорость объекта запущенного в пространстве?

Нет. Специально для Ольги: Если тело приобретает вертикальное ускорение (падает) , то это не значит что вектор горизонтальной скорости изменится. А если брать в масштабах спутников, то из-за смещения центра массы земли относительно спутника, проекция силы притяжения дает отрицательное ускорение по "прошлогодней" горизонтали.

в пространстве нет "горизонтальной скорости". Там вообще нет горизонтали и вертикали.

Вы хотели спросить - на ТАНГЕНЦИАЛЬНУЮ скорость?
Нет
Раз ускорение направлено по нормали, МГНОВЕННАЯ тангенциальная составляющая по величине не изменяется. Изменяется её НАПРАВЛЕНИЕ

PS. Ответ конечно на уровне Ньютоновской механики. Если учитывать релятивистские эффекты - то прав Марат Аминов.

и где у вас горизонт однако?

переведу ваш вопрос на понятный язык. влияет ли гравитация солнца на скорость обращения земли. да влияет из-за эффекта гравитационного излучения, но это влияние ничтожно. но этот эффект играет важную роль в тесных двойных и кратных звездных системах, он приводит к уменьшению периода их обращения вокруг общего центра масс и увеличению орбитальной скорости, что вызывает еще большее гравитационное излучение, а то еще большее уменьшение периода.

не влияет. Иначе бы спутники падали: они же летят по орбите по инерции. Исходя из ваших размышлений, гравитация должна замедлять скорость движения спутника по орбите, и он должен довольно скоро упасть

а если ты бежишь вперед, а твоя подруга за руку тебя тянет в сторону, то как оно? бежать прямо легче?

О каком бы пространстве речь, не шла, ответ ДА!
Потому что гравитация не действует экви-потенциально на одной плоскости, поскольку источником гравитации является "точка" а не "плоскость". Влияние на "горизонтальное движение" зависит от положения этой точки.
Пример со спутниками и подругами вообще неуместны, поскольку их природа качественно отличается.