Существует ли система координат, где каждой координатой является угол?

Совсем без полюсов не обойтись - вершина угла где будет?
Чтобы "связать" две точки совсем не нужны углы - достаточно направления из одной точки в другую.
Ну а линейной меры (расстояния между точками) чисто из угловой не получишь - тут Семен Конторовский прав. В биполярной системе (которую упомянул Илья Винеров) линейная мера задается расстоянием между полюсами.

А зачем Вам это нужно? Что за задача такая?

Ты читаешь что спрашиваешь ???Как же ты получишь линейную меру, имея только углы ...

Есть конечно, существует дофига различных пространств. Можешь сам ввести такое пространство

По необходимости может. Во первых, в разнесённых системах РЛ станций применяется информация об углах, помимо других данных о расстояниях, радиальных скоростях и пр. А вот, например, астрономические системы телескопов вообще только одной этой информацией, как правило, и ограничены. Но и она помогает получать более точные оценки измерений.

К ответу Михаила Ермилова.
А вам не приходило в голову, что там все звезды считаются расположенными на небесной сфере?

Никто не мешает ее использовать. Создать такую можно. Но удобной она не будет.

да
на плоскости зафиксируйте два полюса и два направления - координаты будут углы
в 3мерном пространстве - 3 полюса и 3 направления

Такие системы координат используют при решении некоторых задач, потому что они соответствуют их симметри и, как следствие, удобнее.