полярная система координат

Полярные координаты связаны с прямоугольными соотношениями:
x=R*cos(a) (*)
y=R*sin(a)

a - полярный угол, R - радиус.
Если считать радиус переменным, то можно найти частные производные от радиуса относительно декартовых координат. Есть другой вариант задания функций в полярных координатах - R=R(a). В этом случае либо сразу должна быть задана зависимость, либо (как частный случай) её можно каким-то образом выразить из системы (*). Суть в том что я не могу понять о какой производной идёт речь - если производная радиуса - то видимо по полярному углу - тогда нет смысла говорить о системе (*) - этот разговор будет лишним; Если же вас интересует производная в сисетме (*) то это будет не производная радиуса, а производная по радиусу. В любом случае - производная в обоих заданиях будет равна единице только в редких, частных случаях. Как правило, радиус является переменной величиной и тогда в системе (*) - x'(R)=cos(a) - функции а не единица x'(R)=1 если a=0 (c учетом периода )
y'(R)=sin(a) y'(R)=1 если a=Pi/2 (с учётом периода)
В случае задания функции R=R(a) - R'(a)=G(a) - функция а не единица. R'(a)=1 если R(a)=a

В итоге - производная радиуса или по радиусу весьма редкий результат и его никак нельзя обобщить.

Нет, радиус сам по себе это константа. Производную можно взять только от функции и только в точке, где такая функция непрерывна.

Производная радиуса для какой функции? Это то же, что спросить, чему равна производная ординаты в декартовой системе координат.

У одной из архимедовых спиралей - да.

Производная относительно чего?
Если dr/dr, то очевидно 1

В полярных координатах функции в основном задаются как функция расстояния r от угла φ, поэтому напрасно вы удивляетесь. Если dr/dφ = 1, тогда, интегрируя, получаем r = φ+C, то есть архимедову спираль.