Как стать биохимиком (или попытаться стать), не поступая в институт?

А в институт поступать и не надо. Биохимиков готовят ТОЛЬКО университеты, да и те по пальцам можно пересчитать (МГУ, НГУ - все.. . Может, еще на Дальнем Востоке имеется)
Чтобы стать биохимиком самостоятельно, вам необходимо
1) изучить теорию (это - мелочи, сколько там той теории)
2) оборудовать лаборатории: неорганической, органической, физической и колллоидной химии (оборудование и реактивы разные, все в одном не получится, к сожалению)
3) оборудовать лаборатории для отработки методик по проведению электрофореза, хроматографии (их много видов) , поставить несколько центрифуг от 3000 до 100 000g,
4) оборудовать виварий для содержания лабораторных животных (ну, можно крысами не заморачиваться, стройте тепличку, биохимия растений тоже нужна)
Ну, в принципе, все. Как сделаете - можете начинать.

Покупаешь диплом, благо сайтов в интернете навалом

В медицинское училище поступайте по специальности "фельшер-лаборант".
Можно работать лаборантом в медицинскх учереждениях и научно-исследовательских лабораториях.

В самом деле, ну их, эти институты. Для начала рекомендую заняться разведением гороха на приусадебном участке - Грегор Мендель тоже когда-то с этого начинал...

Ладно теорию выучишь худо бедно, а практику где будешь проходить, ведь без нее ты не владеешь всеми навыками специалиста!

нет. ты не получишь знаний, навыков, которые специфичны для этого направления.
да и кто примет на работу того, кто даже не знает начальных понятий?

Смотришь программу вуза. Выбрасываешь все левые предметы (типа истории и философии) . Обкладываешься учебниками. Учишь.

Как лишиться девственности, не занимаясь сексом - иди к хирургу, только тебе это не поможет

Изучи видео лекции. Забивай в яндекс Цикл лекций Шноля С. Э. "Биохимия" - первая ссылка.

Никак