какова связь между силой и потенциальной енергией?

Потенциальная энергия зависит от положения тела. В зависимости от того, куда мы будем (чуть-чуть) смещаться от данной точки, потенциальная энергия будет либо уменьшаться, либо увеличиваться. Вот здесь и живет связь между потенциальной энергией и силой. Сила показывает направление, в котором потенциальная энергия уменьшается быстрее всего, а величина силы определяется скоростью изменения. Другими словами, сила - градиент потенциальной энергии.

Если иметь ввиду силу тяжести, то никакой.
Если силу упругости, то прямопропорционально

ну блин наколбасили. кто то где то что то слышал... .
только от Миша Еременчук относительно верный ответ.

В общем случае дело обстоит так :
Поле может быть любым, например гравитаионное или электрическое или еще какое.. . Хоть растянутая пружина. А чем не поле? Ну да, искусственно созданное и одномерное, но поле!
Так вот, потенциальная энергия (обозначим U) - это полная работа против сил этого самого поля. Соответственно сила (F) - это производная от потенциальной энергии по перемещению со знаком -. Ну или без знака, если речь идет о скалярном значении поля.

F = -(dU/dx).

Чем больше потенциальная энергия - тем сильнее при возможности может стать кинетическая. Тем больше сила) По-моему все ясн))

Если говорить о потенциальной энергии в поле тяготения Земли то Еп=мдН тут Ф=мд - сила тяготения
В этом случае Еп=ФН, но данный подход применим не везде. Вот в случае как раз потенциальной энергии упруго сжатого тела - никакой прямой пропорцианольности не будет. Потому как сила там зависима от деформации, а значит меняется на всем перемещении...