Скажите, может ли пирамида стоят на вершине, вверх основанием?

объект будет находится в равновесии если проекция его центра тяжести будет попадать на площадь опоры.
т. о. и практически и теоретически пирамида может стоять на своей вершине вверх основанием.
если принять во внимание, что она еще может быть и еще неравномерной плотности, то она может стоять на своей вершине и под углом.

Разумеется может - но не долго. Это точка НЕУСТОЙЧИВОГО равновесия. А значит идеальная пирамида БУДЕТ стоять на вершине, пока какая-нибудь ВНЕШНЯЯ причина не нарушит равновесие. А поскольку вершина идеальной пирамиды идеально острая, то равновесие может нарушить и БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ причина, например квант, случайно испущенный квазаром ЗС315 на границе Вселенной. Или муха, севшая на нос пятой дочери шамана племени мумбо-юмбо в Экваториальной Африке.
А поскольку существуют НУЛЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАКУУМА, то причина в реальном мире не заставит себя долго ждать :-)

Если приварить, то будет.

Еще как может! Вот у нас в стране два миллиона чиновников, и все отдыхают за границей, в то время как каждый шестой живет за порогом бедности. Ну и как в таких условиях может существовать государство? А мы существуем.

Любой предмет любой фрмы может стоять на любой внешней точке, если вертикальная ось соединяет эту точку и центр тяжести этого предмета (в цирк сходите, там секунд на 10 и не такое на вершину ставят, и еще сверху стоят) .
Может ли стоять устойчиво - нет, ни идеальная, ни реальная

Теоретически, как математическая абстракция - Да!
Теоритически, как реальный объект - Нет!

Нет.