Народ, помогите! Нигде не могу найти нормальной формулировки равномерно сходящихся рядов. А в лекциях у меня этого нет.

Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Функциональный ряд, его сходимость ~ Равномерная сходимость ~ Исследование на равномерную сходимость

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд, image51.gif (1107 bytes) , членами которого являются функции, определенные на промежутке image52.gif (963 bytes) . При каждом фиксированном image53.gif (1023 bytes) имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда image51.gif (1107 bytes) также является функцией от х: image54.gif (1210 bytes) . По определению предела последовательности: если для image55.gif (958 bytes) можно указать номер image56.gif (971 bytes)( что интересно, для каждого фиксированного image53.gif (1023 bytes) - свой номер, т. е. image57.gif (1012 bytes) ), такой, что для image58.gif (1097 bytes)выполняется неравенство image59.gif (1195 bytes), то это и означает, что функциональный ряд сходится к функцииimage60.gif (952 bytes). Множество image61.gif (873 bytes), для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

ПРИМЕР 1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

В начало страницы

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть image54.gif (1210 bytes) , т. е. функциональный ряд сходится. Если для image62.gif (958 bytes)можно указать номер image63.gif (971 bytes)независимо от image64.gif (937 bytes), такой, что дляimage65.gif (1064 bytes) выполняется неравенство image59.gif (1195 bytes), то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .

ПРИМЕР 2. Изучение сходимости функционального ряда.

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд image25.gif (1013 bytes) с положительными членами, такой, что для всех image67.gif (862 bytes), начиная с некоторого номера и всех image68.gif (937 bytes)выполняется неравенствоimage69.gif (1095 bytes) , то функциональный ряд image51.gif (1107 bytes) сходится на image70.gif (873 bytes)равномерно. Числовой ряд image25.gif (1013 bytes) в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

ПРИМЕР 3. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость.

Бывает равномерная сходимость функциональных последовательностей. А рядов?? ?
===
Хм, век живи - век учись.