Как Брадис высчитывал значения для своей знаменитой таблицы?

Были семизначные таблицы Хренова.
Реально через ряды считают значение какой-либо тригонометрической функции (например, синуса) для углов от 0 до 45 градусов с нужным шагом, а затем по формулам тригонометрии устанавливаются значения всех функций для всех углов от 0 до 90 градусов. Больше и не нужно. Некоторые трудности могут быть для тангенса вблизи 90 градусов (котангенса вблизи 0), здесь могут использоваться специальные разложения

Метод итераций

Методов тьма, какие использовались для таблиц Брадиса, сказать уже трудно. Брадис считал наверняка не сам, такие таблицы были составлены задолго до него. Были специальные вычислительные бюро, которые считали всякие таблицы, например, для артиллерии. И механические счетные машинки вроде арифмометров еще в позапрошлом веке существовали.

Владимиру Модестовичу Брадису было легче - он укоротил до четырёх знаков семизначные таблицы. :)
Большая часть значений получается через формулы для кратных и дробных углов. Например, синус двух икс равен два синус икс помножить на косинус икс.
Ещё помогает то, что синус икс - это косинус 90 минус икс.
И только для небольшого количества "начальных" углов можно использовать полиномиальное разложение, только я не знаю, по Тейлору, по Чебышеву или ещё как. В общем-то, все синусы и косинусы можно посчитать через 4 действия арифметики, плюс квадратный корень, потому что синус квадрат икс плюс косинус квадрат икс равны единице.