n - мерность пространства?

см. геометрию Лобачевского

не путайте реальную размерность пространства (конечно - 3), с размерностью физической модели.

В математике сплошь и рядом применяются высокие размерности - эот удобный прием и не более того. Вот геодезист, отсняв квартал в 100 точек и делая расчеты решает задачу уравнивания. На человеческом языке - он равномерно разбрасывает погрешности. На математическом - ищет в 200-мерном пространстве точку, ближайшую к криволинейной поверхности, заданной уравнениями-ограничениями, соответствующим его измерениям. Квартал от этого не становится 200-мерным.

Каждая частица имеет свойство которое мы называем положение в пространстве, от этого свойства зависит взаимодействие между частицами. Его можно разложить на 3 координаты, причем множеством способов. Есть у частиц и другие свойства, масса, заряд и т. д. От них тоже зависит взаимодействие между частицами, однако, положение в пространстве гораздо более сложное и лабильное свойство, поэтому человек для удобства работы с ним использует специальную абстракцию - пространство. Размерность - свойство этой абстракции, при любой размерности можно найти в природе явление имеющее аналогию с этим пространством. Не следует возводить эту абстракцию в ранг абсолютной истины так как возможно существование явлений для понимания которых необходимо от нее отказатся.

И в чем вопрос? В наглядности? Тогда так: представить себе даже четырехмерное пространство мы не можем, но можем понять проекцию четырехмерных фигур на наше пространство (по аналогии проекции трехмерных фигур на плоскость) . Например, проекция четырехмерной сферы на трехмерное пространство - это обычная сфера.
Если теоретически.. . Ну а что тут необычного? Ну в трехмерном пространстве - любая точка - это набор из трех чисел, а в n-мерном из n чисел. Есть определенные законы, которым должны подчиняться вектора в этом самом пространстве.. . Вопрос слишком общий, а не конкретный.. . Пространств таких слишком много.
P.S. Геометрия Лобачевского (см. ответ Ирины) здесь ни к селу, ни к городу...

Коорд предназн для отождествл событий (положения тел) . При путеш по пов-ти Земли в некоторых сл достат 2-х координат. В общем случае для описания положения тела надо 3-коорд (чаще исп прямоуг декарт коорд) . Для описания дижущихся надо еще 3-и коорд для описания вектора импульса. Эйнштейн исп 4-ю коорд - время, для описания (однозначн) события. Если привлекаем другие физич величины, то их тоже можно рассматривать как кординату для скалярной величины и еще 3-коорд для векторной. Видно что это все таки математическое описание. Для физики, для описания физич явлений
все таки n-мерные пространства это матем абстракция

Мы живем в 4-хмерном мире (пространство-время) , но в связи с разработкой теории суперструн ученым пришлось предположить, что наш мир одиннадцатимерный, только с таким количеством измерений теория "складывается". Но в этой теории нам все равно доступны все теже 3 пространственных и одно временное измерение.
Кстати, не стоит путать измерения с позиции современной физики и математики с измерениями фантастов (параллельные миры и прочее) - это две большие разницы :).