С какой целью математики изучают n-мерные пространства?

используется ВЕЗДЕ. Например, из общеупотребительного: картинки, музыка, фильмы - все сжимается алгоритмами на основании преобразований Фурье с размерностью от сотен до десятков тысяч. Ваша мышка сопоставляет картинку под датчиком, чтобы обнаружить движение - им же самым.

И вообще, куча задач по сути многомерны. Например, ходил геодезист, мерил какие-то точки, получил несколько сот измерений новых точек от старых известных, при этом допустив какие-то погрешности, ему надо искать самые правильные положения нужных точек. Внятно решить эту задачу можно, если считать его измерения одним вектором в несколько сот измерений, тогда то, что он намерил будет выглядеть как какая-то искривленная поверхность в этом многомерном пространстве, а задача - найти ближайшую точку на этой поверхности к той, которую он намерил.

И так - на каждом шагу. Хотим считать прогноз курса валют про прошлым - ровно такая же многомерная задача, хотим распознать что-то на фотографиях - получаем особыми алгоритмами "интересные точки", каждая из которых описана 80-мерным вектором, чтобы сопоставить разные снимки - надо найти ближние к ним в 80-мерном пространстве. Например. так прекрасно распознаются дорожные знаки на картинке с регистратора.

или надо управлять рукой робота: каждый сустав - 1-2 степени свободы, вся рука порядка десятка. То есть положение задается 10-мерным вектором. Кстати, положение руки человека описывается 90-мерным (!) вектором.

положение (включая ориентацию) дрона - 6-мерный вектор. Если хотим по гироскопам и акселерометрам считать его положение - надо решать задачу оптимизации в 6-мерном пространстве. Чтобы перелететь из одного положения в другое - тоже 6-мерная задача.

Везде активно применяются. Включая психологию для измерения психических характеристик :)

ВСЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ занимаются изучением своего предмета без какой-либо практической цели. Этим они и отличаются от наук, называемых прикладными.
А потом приходят практики и на основании открытий, сделанных в фундаментальных науках, придумывают что-то новое.
В советской биологической науке одно время сильно гнобили генетиков, которые, в то время, как вся страна в поте лица работала, увеличивая надои и урожаи, занимались изучением каких-то никому не нужных мушек. Сегодняшнее животноводство и растениеводство целиком покоятся на дальних результатах тех исследований.
Таких примеров в истории науки - вагон и маленькая тележка наберется.

Вы плохо понимаете суть математики.
Вот например, в средние века на востоке один математик придумал двоичную математику. И какая цель? Никакой. Какая польза? Только через пятьсот лет его труды пригодились, при производстве компьютеров.
И что, вы хотите сказать, он знал для чего работал?

по сути, это важный мат. аппарат.
Для того, чтобы описывать разнообразные физические явления.

Например, когда вы действуете на трехмерное тело силой, то напряжения в нем в каждой точке описываются 9-ю величинами (в общем случае), а если на плоское тело подействовать, то напряженное состояние описывается 6-ю величинами. Для анализа этих величин и нужно 9 (или 6,соответственно) -мерное пространство.

Матрицы. линейные уравнения, их решения - это же n мерное пространство, если уравений л. н. будет n.
Из этого дифференциальная геометрия, решение якобианов и тд.

К примеру, пространство квантовых состояний многомерно, и даже бесконечномерно. Вся квантовая механика базируется на аппарате гильбертовых пространств.

от скуки именно. потому что этот вынос мозга на практике нафиг не нужен.

Многие математические факты, высказанные на геометрическом языке n-мерных пространств становятся либо более очевидными, либо видны под новым углом, что тоже хорошо. Многомерные пространства дают новый язык, творческий потенциал геометрической интуиции стало возможным подключить к огромному классу задач. В современном изложении даже самый обычный матан и линал, методы, которых используются чуть более, чем в 90% приложений математики вообще, немыслим без n-мерных пространств.

Закон больших чисел в теории вероятностей на геометрическом языке означает, что масса n-мерного шара, при больших n, в основном сосредоточена возле его границы. Например, если у 1000-мерного арбуза радиусом 1 метр отрезать корку толщиной 1 см, то останется не более 1% от его первоначального объема.

Существование самокорректирующихся кодов Шеннона, юзающихся в этой вашей криптографии, на геометрическом языке означает, что в n-мерном пространстве много почти перпендикулярных друг другу векторов.

Метод наименьших квадратов (в случае линейной регрессии), использующийся всякими статистами, можно переоткрыть просто спроектировав точку в n-мерном пространстве на k-мерное подпространство.

Метод множителей Лагранжа, используемый экономистами, экологами, демографами, да и вообще почти всеми, кто ставит хоть какие-то задачи оптимизации, на геометрическом языке означает вложение некоторых k-мерных пространств в n-мерные.

И подобных примеров десятки. Отдельно стоит отметить, что все эти n-мерные пространства в матане — это уже не просто хитрый трюк, позволяющий увидеть в некоторых случаях что-то интересное, а буквально часть языка. То есть, если ты измерил в каждой точке своей комнаты температуру, давление, освещённость и влажность, то, с точки зрения матана, ты уже задал непрерывную функцию из трёхмерного пространства в четырёхмерное. И язык очень удобный, пока никто не жаловался.

Стоит также напомнить, что, помимо всего этого, многомерные пространства могут юзаться для моделирования системы с большим числом степеней свободы. Мегапиксельное изоображение, например — это точка в миллионмерном пространстве. Таким же образом можно интерпретировать звуковые волны, коробку с газом, экосистему, поток цифровых данных, испытания случайной величины, случайные стратегии в игре для двух человек и многое другое. И при этом мы на халяву получаем для всех этих случаев такие концепты, как выпуклость, расстояние, линейность, замена переменных, системы координат, ортогональность, внутреннее произведение, которые при подобном моделировании, зачастую, имеют очень естественный смысл.

Например:

Векторная модель в качестве точек в n-мерном пространстве могут выступать, например, слова, а в качестве расстояния то, насколько одно слово похоже на другое.

Метод опорных векторов алгоритм, представляющий набор признаков как набор точек в n-мерном пространстве. Позволяет учить компьютеры отличать кружки от квадратиков, и вражеские самолёты от своих.

Отдельного упоминания заслуживает физика.

Всякие фазовые пространства и конфигурационные пространства в механике и теории динамических систем. Например, в качестве размерности берутся все параметры, описывающие состояние системы. У материальной точки их ВНЕЗАПНО шесть: три проекции координаты и три проекции импульса. Уже получаем шестимерное пространство. А если в системе n точек, то получаем n-мерное пространство,
называется пространством Гиббса.