Допустим есть два трех мерных пространства, не связаных друг с другом

Было две компоненты связности, стала одна компонента связности. Если хотите параметризовать этот процесс по времени, то время можно трактовать как дополнительное измерение. Но этого делать не нужно в Вашем конкретном случае

Если хотите говорить о границе и внутренности, то это предполагает дополнительно индуцированную топологию - у Вас кубы как раз не где-то сами по себе болтаются, а в "трехмерном евклидовом пространстве".

Но вообще-то ответ на Ваш вопрос - да, будет оставаться трехмерным с точки зрения обычных определений размерности. Размерность конечного объединения пространств обычно равна максимуму из размерностей, не важно, пересекаются они или нет. И Минковского, и Хаусдорфа, и, по идее, Лебега.

Два трёхмерных пространства могут существовать только в четырехмерном или большего порядка пространстве. Описанное вами пространство не будет трехмерным изначально.

Вы сами пишете, что между этими трехмерными кубами пространства нет. Тогда в чем они движутся навстречу своему столкновению?

Хм, по идее пустоты не существует; пустое пространство - это ведь не пустота. Т. е. "за пределами" вселенной просто ничего нет. Вопрос в том, что считать вселенной. Если горизонт наблюдений- то не смотря на отсутствие всякой информации за его пределами мы не можем сказать, что там нет пространства. Например, если отталкиваться от теории инфляции, то вселенная много больше горизонта наблюдений. Значит ( в случае с горизонтами наблюдений) пространство останется 3(4 вместе со временем) -мерным. Если же принимать во внимание всю вселенную со всеми горизонтами наблюдений, то вопрос теряет смысл, т. к. за её пределами нет ничего (в том числе и "пустоты")

Смотря, как они налетят друг на друга. Проще для аналогии представить два пространства меньшей размерности. Вот две двумерные плоскости могут пересекаться по одномерной прямой. Они могут и налететь так друг на друга подобно тому, как две скрещивающиеся прямые могут налететь так друг на друга и пересечься в точке. Так и два трёхмерных пространства могут налететь не обязательно целиком, но по плоскости, прямой или в одной точке.