Как построить оси координат в n-мерном пространстве?

Берем плоскость и рисуем в 3х мерном. на плоскости это можно.
Берем много листов и на каждой рисуем каждое изменение, Будет 4х мерное.
Собираем это все в книгу и зашиваем.
Берем 5ую координату и повторяем для каждого значения уже книги и собираем в полочку.
Берем 6ую и собираем большой шкаф из каждого значения.
продолжаем в библиотеку, 7
сеть библиотек 8,
все книги сети в древо сети.. .
...
можно сделать фильм.
развивающийся флаг и есть многомерного графика изображение.
Думаю ответил.

Тут задачка немножко в стиле барона Мюнхаузена.. .
1. Сам факт того, что у точки УЖЕ ЕСТЬ координаты, свидетельсвует о том, что в данном пространстве заданы оси координат. Потому что координаты без осей не имеют смысла. То есть СНАЧАЛА каким-либо образом задаются оси, а уже ПОТОМ у точек прост ранства появлдяются координаты относительно этих осей.
2. Расстояние считается достаточно просто. Предполагая, что пространство евклидово (простейший и наиболее распространённый случай) , расстояние между любыми двумя точками считается по теореме Пифагора. Просто вместо двух катетов у "треугольника" появляется ровно n катетов, каждый из которых есть разность одноименных координат точки. В общем же случае надо сначала задать правило, по которому считается такое расстояние (то есть задать метрику пространства. Евклидова метрика - всего лишь частный случай) .
3. Ну и если мы опять же ограничиваемся евклидовым пространством с декартовой системой координат, то четыре точки даже в нём определяют не фигуру, а, вообще говоря, трёхмерный объект (хотя с точки зрения 4-мерного пространства это будет 3-мерная гиперплоскость) . То есть ровно по аналогии с аксиомой Евклида, n точек в пространстве определяют подпространство размерности n-1 (плоскость для трёхмерного пространства) единственным образом, если только они не принадлежат одному и тому же подпространству размерности n-2 (одной прямой для трёхмерного пространства) . И тогда объём такой фигуры определяется как объём (n-1) мерного симплекса. Формулы можно найти в любой книжке по высшей математике, хоть в Фихтенгольце (там довольно развесистый определитель...) . Площадь же по определению есть свойство двумерной фигуры, и для любых трёх точек, через которые можно провести плоскость, она считается как половина модуля векторного произведения двух векторов, построенных на этих трёх точках.

1) Вопрос не понятен. Что значит "построить оси координат"? У тебя есть пятимерный лист бумаги, на котором ты будешь рисовать оси?

2) Вопрос не понятен. Что значит "как координаты точек будут соотноситься"? Как они соотносятся в трёхмерном пространстве? Если речь идёт о расстоянии между двумя точками, то так же, как и в двух- и трёхмерном: если даны точки Х (х1,х2,...хn) и У (у1,у2,...уn), то расстояние между ними будет:
D = √[(x1-u1)²+(x2-y2)²+...+(xn-yn)²]

3) Не совсем понятно, что подразумевается под площадью. Для "нормальной" площади - поверхностный интеграл и тогда не ошибёшься.

Тут, вообще-то, нужно быть осторожным: свойства у таких фигур могут оказаться весьма неожиданными. Например, если взять кубик в трёхмерном пространстве, то грани этого кубика чётко делят пространство на две части: внутри кубика и снаружи. Если же теперь перетащить его в четырёхмерное пространство, т. е. просто добавить коордантам каждой точки ещё одну, то "внутри" и "снаружи" уже не будет, так же, как нет "внутри" и "снаружи" у плоского квадрата в трёхмерном пространстве.