найти условные экстремумы функции

Часто приходится решать задачу о нахождении экстремума функции нескольких переменных при наличии некоторых дополнительных условий.

Примеры: 1) Найти длины сторон прямоугольника, имеющего наибольшую площадь S = ху при заданной величине его периметра Р = 2х + 2у.

2) Решить ту же задачу при условии, что х - у > а, а = const.

Задача 1) имеет дополнительное условие в виде равенства, а задача 2) еще имеет условие в виде неравенства. Мы будем рассматривать задачи вида 1), которые называются задачами на условный экстремум. Задачи вида 2) называются задачами линейного (нелинейного, динамического) программирования и рассматриваются в специальных курсах.

Для функции двух переменных имеем:

О: Пусть z =(х, у) определена на множестве D. Пусть также LD — подмножество, заданное условием F(x, у) = 0. Точка называется точкой условного максимума (минимума) для (х, у) , если> 0 такое, что вдля выполнено

Условные максимум и минимум называются условными экстремумами.

Для функции двух переменных задачу о нахождении точек условного экстремума решают одним из следующих двух способов.

1. Если это возможно, из уравнения связи F(x, у) = 0 находят и затем подставляют в функцию z=(x, у) . В результате

становится функцией одной переменной х, для которой задача решается известными методами.

В противном случае для нахождения точек экстремума применяется метод множителей Лагранжа [3. С. 288], который заключается в следующем.

2. Составляют функцию Лагранжа

(12.1)

гдеR — множитель Лагранжа. Очевидно, что на множестве L второе слагаемое обращается в нуль вследствие выполнения условия F(x, у) = 0. Таким образом, на L выполнено и поэтому задача в случае функции двух переменных, как и в п. 1, сводится к поиску экстремума функции одной переменной х.

Формально процедура решения такова. Приравниваем к нулю все частные производные функции Лагранжа:

и отсюда находим решение

Пусть — любое из решений этой системы.

Подставляя внайденный из

уравнения связи дифференциали обозначая

(в опорном конспекте № 12записано в виде определителя) , получаем Тогда, еслиимеет в т.

условный максимум, если> 0 — то условный минимум.

Пример: Найти точки экстремума функции если уравнение связи у - х = 0. Рассмотрим оба способа решения. 1. Из аналитической геометрии известно, что любое уравнение 2-го порядка определяет в пространстве поверхность второго порядка (см. гл. 1). Выделим в заданном уравнении полные квадраты х и у: — уравнение параболоида вращения с вершиной в т. N(1, 2, 9) (рис. 12.3); у = х — уравнение плоскости. Подставляя уравнение связи в исходную функцию, получаем

Рис. 12.3

Исследуем на экстремум:

— максимум в т. М (1,5; 1,5).

Функцияимеет условный экстремум

= 4-2 · 2,25 + 6 · 1,5 = 13 - 4,5 = 8,5. 2. Составим

линейная система уравнений. Используя метод Крамера, получим: и

— т. условного максимума

Для функциипри наличии m уравнений свя-

зи функция Лагранжа будет иметь вид

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой (n + m) уравнений:

(12.2)