Объясните, почему русскому войску удалось победить монголо- татар в Куликовской битве?

потому, что хан (был всего лишь темником) Мамай был бунтовщиком в своей Золотой орде, к тому же он не был чингизидом, и формально войско Дмитрия сражалось с бунтовщиками, которые к тому времени 1380г контролировали только крым и причерноморье, 8 сентября 1380 года его войско было разбито в Куликовской битве. Мамай бежал в Крым, где собрал большое войско, но его большой бедой было то, что в Куликовской битве погиб малолетний хан Мухаммед, при котором Мамай был беклярбеком, а без законного хана его власть потеряла легитимность. А наступавший с востока Тохтамыш был законным потомком Чингизхана. Чуть позднее, в сентябре 1380 г. состоялась битва между войсками Мамая и Тохтамыша. Мамай бежал, но был схвачен и убит. а через два года в 1382 хан (с 1377года) Тохтамыш всеми силами орды взял Москву. Исторически куликовская битва выделена по принципу побед московских кязей в далнейшем воцарившихся над россией, но победы над татарами были и до 1380 года. например БОРТЕНЕВСКАЯ битва (1317г.) , но она не очень освещается так как татар победили войска тверского князя, до в добавок ко всему союзником татар были силы московскго князя. Хотя и та и другая по сути удельные победы.

а заодно объясните, почему через два года монголо-татары разграбили и сожгли москву

Мамай мятежник, выступил против законного хана Золотой Орды. Однако, верные хану князья Северо-Западного улуса рабили мятежника.
Благодаря этой хитрости, московские князья смогли ослабить орду, постепенно становясь не улусом, а главным в Орде, то есть царь стал выше хана.