Вопрос по гравитации

Тело будет совершать гармонические колебания (если отсутствует трение) .
Можно показать, что возвращающая сила линейно зависит от расстояния до центра планеты.
Объем центральной части Земли уменьшается как куб радиуса, то есть притягивающая масса уменьшается как куб радиуса и по такому закону должна уменьшаться сила гравитации. Но при этом уменьшается расстояние до центра и, значит, сама сила гравитации должна нарастать как квадрат расстояния. Поэтому в формуле закона всемирного тяготения в числителе у Вас стоит масса пропорциональная кубу расстояния до центра, а в знаменателе стоит квадрат расстояния.
Итак сила притяжения к центру Земли падает по линейному закону, если опускаться в шахту, идущую к центру Земли.
А если не на "пальцах", а всё строго математически, то, пропуская промежуточные вычисления, само линейное дифференциальное уравнение без учета трения о воздух в шахте имеет вид:
R'' + Г*(4/3)*P*R = 0,
где Г-гравитационная постоянная, P-средняя плотность Земли, а R-радиальная координата тела (расстояние от тела до центра Земли) .
Это старая знаменитая задача из всяких олимпиад по физике, где требуется определить частоту и период свободных гармонических колебаний тела, которое бросили в шахту прорытую насквозь через всю Землю. Частота гармонических колебаний (круговая) из этого дифференциального уравнения получается:
W=sqrt(Г*(4/3)*P)

На Ваш летящий объект будут действовать две силы: созданная собственным ускорением падения, поскольку тяга вниз будет однозначно, и и некие силы, которые будут внутри Вашего земноподобного объекта. Поскольку плотность внутенних масс земли огромна (а соответственно и давление) , можно предположить, что гравитационные поля направлены к центру. В этом случае Ваш летящий объект точку центра будет проходить с максимальной скоростью, при симметричной геометрии зависнет точно над другим концом отверстия "внизу" и полетит обратно, теряя энергию падения в воздухе или через магнитные и другие "вредные" для падения воздействия. Таким образом в результате колебания летящего объекта со временем должны затухнуть как раз в центре землеподобного объекта. То есть ответ на Ваш вопрос: в первый пролет через центр шарик пролетит его с максимальной скоростью, а постепенно, при наличии тормозящих воздействий, остановиться через некоторое количество пролетов.

Ну и глупые же мысли у вас в голове витают. Предположительно шар "прилипнет" к центру, т. е ядру этого тела как к магниту

Шар вылетет с обратной стороны "землеобразного тела", но его высота уменьшится. И так, пока он не остановиться в центре Земли.