Если с околоземной орбиты выстрелить в сторону Луны, то как далеко улетит пуля?

Смотря с какой скоростью выстрелить! Для достижения Луны нужна скорость 10,83 км\сек.
7,8 км\с уже имеется. Так, что 10,83-7,8=3,03 км\с . Если пуля полетит с такой скоростью (относительно корабля), то через 3 суток долетит до Луны. Есть 2 варианта-либо пуля попадет в Луну, либо облетит ее и вернется к Земле. И будет у нее вытянутая до луны орбита.

Луна может быть в разном положении относительно точки выстрела. Так что надо уточнять условие.

Можно запустить спутник на лунную орбиту, чтоб летел следом за Луной, почти с той же скоростью, подлететь к Луне впритык и выстрелить в упор.
Стопроцентно долетит.
А если стрелять в сторону Луны даже с очень большой скоростью, пуля полетит по эллиптической орбите, а Луна перпендикулярно, по своей круговой. Куда то пуля улетит...

Зависит от роасстояния между Луной и касательной к Вашей орбите, направление выстрела
-встречно или вдогонку . Массы пули, тактикотехнические данные оружия и много -много еще чего.

Бесконечно далеко. Или..

да интересно.... круто было бы проверить, но....

Подозреваю, лень проверять, что никуда не улетит, а останется крутиться на орбите. Т. К. скорость пули меньше второй космической скорости, необходимой для того, чтобы оторваться от орбиты земли.
Самое большее, что будет, пуля приподнимется на более высокую орбиту, но рано или поздно вернется назад, и даже упадет на землю.