что такое гиперкомплексные числа в чём смысл их? как они выводятся

???
Вы, наверное, имели в виду гиперболические числа.
Гиперболические числа это такие числа, у которых квадрат единицы равен единице: i^2=+1.

Числа делятся на гиперболические, параболические и эллиптические.
У эллиптических чисел квадрат единицы равен минус единице: i^2=-1.
У параболических чисел квадрат единицы равен нулю: i^2=0. (Сама единица, естественно, не ноль! )

Комплексные числа это смешанный тип числа, так как там есть и гиперболическая единица и эллиптическая единица. Кватернионы это тоже смешанный тип числа, так как там одна единица гиперболическая, а три другие единицы эллиптические.
Вещественные числа это гиперболические числа. Поэтому любое вещественное число можно выразить через комплексное число в форме: a+i*0.
Вектора N-мерного евклидового пространства также являются гиперболическими числами.

Самыми богатыми математическими свойствами обладают только комплексные числа. С одной стороны, они коммутативны и ассоциативны по умножению. То есть от перестановки мест множителей произведение комплексных чисел не меняется и от расстановки скобок произведение комплексных чисел тоже не меняется А, с другой стороны, комплексные числа не имеют делителей нуля. То есть ноль невозможно представить в виде произведения двух комплексных чисел, которые не равны нулю.
Все другие числа ущербны по отношению к комплексным числам и поэтому мало где применяются.

Гиперкомплексные числа - это несколько разных типов чисел, куда входят и комплексные тоже.

Если ты имеешь в виду кватернионы, то они соответствуют четырёхмерному пространству, в то время как обычные комплексные числа - плоскости.

Комплексные числа - это точки на плоскости.
Гиперкомплексные - точки многомерного евклидова пространства.
К стати i^2 может быть не только -1. А скажем ноль.
Да и i тоже можно считать гиперкомплексным числом - оно комплексное и входит в множество гиперкомплексных.

По сути, это расширение вещественных или комплексных чисел, или каких-либо иных.