Существует ли электрическое поле вокруг проводника с током?

Существует, но очень слабое. Большая его часть сосредоточена внутри проводника. Это если говорить об электростатическом поле. Если ток в проводнике переменный, то вокруг проводника существует еще вихревое эл. поле. Его направление, в частности, совпадает с направлением поля в индуктирующем проводнике.

Нет, т. к. число электронов и протонов всегда равно! Ну и что из того, что электроны движутся.

Конечно, а как по вашему работает трансформатор? На волшебном поле?

В проводнике имеются электрические заряды, свободно перемещающиеся под действием электрических сил. Поэтому, если в проводнике возникло электрическое поле, то свободные заряды проводника придут в движение под действием этого поля, т. е. через проводник будет идти электрический ток.

Но для этого нужны определенные условия поддержания длительного электрического тока в проводнике. Но в опытах с зарядкой отдельных проводников мы не наблюдаем длительного тока, т. е. заряды на проводнике после некоторых перемещений приходят в состояние равновесия. Равновесие будет достигнуто, когда заряды распределятся по проводнику таким образом, чтобы создаваемое ими внутри проводника электрическое поле как раз компенсировало внешнее поле, вызвавшее перемещение зарядов. Пока такая компенсация не наступила, электрические заряды, благодаря их подвижности в проводнике, будут продолжать движение. Таким образом, при равновесии зарядов напряженность электрического поля в проводнике равна нулю, т. е. электрическое поле в проводнике отсутствует.