Если пробурить скважину с одного полушария земли в другое. Как будет происходить падение в неё? Уравновесится ли предмет

Если учитывать сопротивление воздуха, то после некоторого числа колебаний с уменьшающейся амплитудой, ты остановишься в центре Земли. Если сопротивление воздуха не учитывать, то будешь вечно болтаться между концами этого тоннеля. В невесомости ты будешь всё время полёта, так как вес - сила давления на опору, которой у тебя нет.

Ты весь путь, пока не остановишься в центре Земли после многих колебаний туда-сюда, проделаешь в невесомости. И будешь в центре Земли в невесомости и пребывать. А не только "вторую половину пути". Вот как прыгнешь в эту скважину, так в невесомость и попадешь. И будешь в этой самой невесомости находится, пока тебя оттуда не начнут вынимать...

Если в скважине будет чистый вакуум, то любое тело (тяжелое или легкое, безразлично) , будет падать с ускорением. По мере приближения к центру планеты ускорение будет уменьшаться, и центр будет пройден с постоянной скоростью 8 км/сек. Затем появится обратное ускорение и тело начнет замедляться. Оно полностью остановится на поверхности Земли с той стороны, затем начнет ускоряться снова к центру, и так - будет колебаться бесконечно, то набирая 8 км/сек, то останавливаясь.

Если в скважине будет воздух, то тело наберет только максимально возможную скороть, и дальше будет падать равномерно. Например, человеческое тело может развить от 200 до 400 км/ч, в зависимости от позы. По мере приближения к центру планеты, скорость будет постепенно снижаться. Сам центр будет пройден при скорости не более 40 км/ч (для человека) . Поскольку этой скорости явно недостаточно, чтобы снова добраться до поверхности, то тело совершит несколько быстро затухающих колебаний (размахом от нескольких десятков километров и до нуля) - и затем остановится в центре планеты в невесомости.

Если Земля при этом еще и вращается, все становится сложнее. Тело не полетит прямо к центру Земли, а будет дугообразно отклоняться из-за кориолисовой силы. Поэтому туннель должен сверлиться не через центр, а в обход него. На поверхность этот туннель должен выйти не прямо на другой стороне планеты, а несколько со смещением. Для обратного полета понадобится новый туннель, изогнутый дугой в обратную сторону. И так далее - для многократного колебания тела вверх-вниз туннель придется строить в виде многолепесткового "цветка", раз за разом огибающего центр планеты под разными углами.

в теории - уравновесится. Но сначала будет долго болтаться туда-сюда

Если всё это дело рассматривать статически:
Если взять железную болванку размером с человека и бросить в эту скважину, то по мере приближения к центру Земли будут идти термоядерные реакции. Атомы будут сливаться и не однократно. В самом центре Земли атомы этой болванки будут иметь массу, если классифицировать по таблице Менделеева, в пределах 2 000 ( две тысячи) . А размер болванк сожмётся примерно до размеров яблока. Ну и понятно, что это уже будет давно не железо.. .
По инерции этот объект пролетит центр. По мере удаления от центра эти сверх массивные атомы начнут расщепляться. И тоже не однократно. До поверхности этот объект не долетит.... Но даже если бы он долетел, то это будет не обязательно железо. Это, в процессе расщепления, могут сформироваться и другие атомы. От лития до урана..., всё возможно. И объём объекта конечно тоже увеличится.
Это было статически. Ну а если динамически:
При первой же ступени термоядерной реакции - взрыв! (...)

Если считать что внутри будет вакуум и не будет трения о стенки, то объект вылетит из другого конце со скоростью близкой к 0 примерно через 42 минуты. Ну а если судить здраво, то без термозащиты примерно через 200км всё живое погибнет. При малейшем сопротивление воздуха или при контакте со стенками скважины объект не сможет вылететь с другого конца. И немного не долетев до поверхности вернётся назад, и так до уравновешивания в центре.

Пробурить скважину насквозь не возможно также, как и вывернуть себя на изнанку.

Уточняю ответ Влерия, на полюсах будет время будет больше, т. к. Земля выпуклая.