Если удалось (для примера) пробурить скважину Земли через центр Земли насквозь и кинуть туда камень , то где бы

В центре земли как гравитационном центре шара.

Не кинешь. В скважине не будет гравитации!!!

Камень остановился бы на противоположной стороне Земли (если не считать сопротивления воздуха), после чего начал бы падать обратно.

Теоретически камень пролетит центр Земли но до противоположного края скважины не долетит. Через n раз колебаний таким образом, камень остановится в центре Земли.

ВИ не позорьтесь, вы что Перельмана Якова Иссидоровича не читали.

На солнце наверное

ну на земле он бы летел до упора , в космосе начал бы левитировать

- А зачем это нужно??? А? Не понимаю такого вопроса...
Ладно, бросил ты камень. И что? Сработает закон о... "параллельных прямых", которые... могут пересекаться :-)))

(Смотря... какой диаметр отверстия будет...).

Мечтатель вы наш! Точнее надо задавать вопросы.
1. Если это реальная Земля, т.е. с нынешней плотностью атмосферы, но в то же время с нереальной геологией, т.е. внутри сплошной камень, а не железное ядро с температурой как на поверхности Солнца, то это одно дело.
А если это совсем упрощенная Земля. Без атмосферы вообще, и опять же холодная внутри, то это другое дело.
2. Далее. Хоть ваша Земля и упрощенная, но не до такой степени, что бы законы механики на ней не работали. А потому ваша скважина должна быть пробурена строго сквозь географические полюса и иметь довольно большой диаметр.
Через полюса - потому что Земля вращается и любая скважина проходящая через центр Земли, но устье которой не на полюсах, должна быть криволинейной. Иначе ваш камень врежется в стену.
3. И так. Начнем с планеты с атмосферой. В этом случае камень далеко вниз не улетит.
Уже на глубине порядка 15 километров плотность воздуха станет примерно в 6 или 7 раз (в зависимости от влажности) больше, чем плотность воздуха на поверхности Земли. И в таком плотном воздухе камень будет плавать как воздушный шар.
Такчто на этом опыт закончится. ОК?
4. Планета без атмосферы и шахта идет строго прямолинейно от полюса до полюса.
В этом случае в идеале камень половину пути будет лететь со все убывающим, но ускорением. А вторую половину пути будет лететь со все увеличивающимся, но отрицательном ускорении. Ну или все с более интенсивным замедлением.
И если устья шахты находятся на одном расстоянии от центра Земли, то ваш камень достигнет среза устья шахты на противоположном полюсе и тут же отправится в обратный путь.
5. Скрытая ошибка вашего вопроса в том, что вы зациклились на величине ускорения свободного падения в зависимости от удаления от поверхности Земли. Да, оно убывает и в центре Земли равно нулю.
Но. Но про инерцию. Если нет сопротивления воздуха, то набранная скорость будет сохраняться, а изменяющаяся сила тяжести будет только ускорять (на пути к центру) или замедлять (на пути от центра к поверхности) камень.

если пробурить землю насквозь, то произойдет изменение климата, а соответственно и гравитации, давления и прочее. Поэтому когда мы кинем камень, то после этого мы уже ничего не будем знать о нём. Потому что нас не будет уже.