Если прорыть туннель сквозь Землю ровно по центру на вылет, и кинуть туда шар 1 кг. Что будет?

Если в тоннеле будет воздух, то шар повиснет в нем на глубине 500-1000 км, т к плотность воздуха станет равной плотности шара. Кроме этого, шар просто расплавится от высокой температуры. Если же воздух откачать, то картина будет совсем другая. Шар пройдет центр Земли со скоростью 7,9 км\сек и будет лететь дальше, постепенно замедляясь. К выходу скорость будет 0 и шар начнет обратное падение. Так будет продолжаться долго. Время прохождения тоннеля- 42 минуты. 12 700 км. Нереализуемо на практике.

Долетит до противоположного края и полетит обратно; так и будет летать туда-сюда, с уменьшающейся амплитудой, пока не зависнет в центре Земли.

Все на самом деле еще хуже. Смотря как проходит тоннель, если от полюса к полюсу то будет качаться туда-сюда пока не зависнет в центре, если ось тоннеля не совпадает с осью вращения Земли, то будет двигаться по расширяющейся спирали и при конечном диаметре отверстия коснется стенки тоннеля и дальше покатится, опять же по спирали, по ней замедляясь от трения и скоро остановится в центре, немного покатавшись взад-вперед. Короче, вариантов куча.

Вылетит обратно, если в туннели вакуум.

Пробуришь земную кору и оттуда польётся магма .
Если-бы тоннель был-бы прорыт через центр земли и магма была-бы из твёрдой породы
то из-за огромного давления воздуха в центре земли было-бы большое давление и высокая плотность воздуха . Больше 6000километров как никак .
Так-что амплитуда пролетающего шара через центр земли туда-сюда была-бы с сильным снижением пролёта до самой высокой точки на противоположной стороне .

Будет колебаться вокруг центра земли с постепенно уменьшающеся амплитудой.

Предвидя вопросы вроде "а если там будет вакуум? " скажу, что в этом случае амплитуда всё равно будет уменьшаться из-за потерь энергии на излучение (просто очень медленно).

Надо попробовать.

скакать будет, туда-сюда не долетая до края поверхности, потихоньку останавливаясь (из-за сопротивления воздуха).

Теоретически должен лететь к центру с разной скоростью. А в центре болтаться.