Если прокопать абстрактую "яму" до центра Земли и кинуть туда шарик.

Задача элементарно решается, если прокопать яму не до центра Земли, а дальше насквозь. Получается уравнение гармонических колебаний. Значит скорость будет наростать по закону синуса и достигнет максимума в центре Земли, а ускорение, наоборот, будет уменьшаться и обратиться в ноль в центре Земли. То, что шахту прорыли только до центра Земли, а не насквозь, это ничего не меняет. Просто вместо колебаний, тело врежется в препятствие, но закон движения до того, как произойдет столкновение будет в обеих случаях одинаковый. Собственно говоря, то, что ускорение станет нулевым в центре Земли понятно из того, что в центре Земли на тело не действует сила гравитации, а ускорение всегда пропорционально силе. Но чтобы понять закон, по которому изменяются скорость, ускорение и координаты, надо написать дифференциальное уравнение движения с учетом изменения силы гравитации при приближении к центру Земли.
Понятно, что гравитация шара равна гравитации точки внутри шара с такой же массой. Это открыл еще Ньютон, что шары можно заменить точками с координатами в центре шара и с такой же массой. А внутри сферы любой толщины гравитация всегда равна нулю в любой точки (не помню сейчас кто это первым расчитал этот нетривиальный результат) , поэтому гравитацию надо учитывать только от той части Земли, которая имеет радиус меньший чем координата брошенного тела. Сила, с одной стороны, уменьшается с уменьшением массы, как R^3, а, с другой стороны, она нарастает как R^2 по закону Ньютона. Отсюда и получается линейный закон изменения силы, и значит тело брошенное в такую шахту будет вести себя как линейный осцилятор.
Это задача из студенческой олимпиады по физике для первокурсников.
Единственное допущение, которое здесь сделано, это то, что плотность Земли считается постоянной. Иначе уравнение становится нелинейным с неизвестной зависимостью плотности от радиуса P=P(R). А само линейное уравнение без учета трения о воздух в шахте имеет вид:
R'' + Г*(4/3)*P*R = 0,
где Г-гравитационная постоянная.
Если учесть трение о воздух, то решение еще более усложниться. При обычном прыжке парашютиста, мы всегда получаем, что он начиная с некоторого момента падает с постоянной скоростью, так как сила тяжести уравновешивается силой трения о воздух. При этом в простой задаче про парашютиста считается, что сила тяжести постоянная и сила трения тоже постояная. Но в случае падения в центр Земли уже не только сила тяжести будет меняться, но и сила трения тоже будет сложно меняться в зависимости от радиуса, так как атмосферное давление тоже будет меняться в зависимости от радиуса.

Козак единственный ответил по делу. Дыра только до центра, поэтому ответ - шарик просто упадет на дно ямы.
Его ускорение при подлете к центру уменьшится до 0, но скорость будет набрана огромная.

Если дыра сквозная, то его максимальная скоростьбудет в центре, затем он, замедляясь, вылетит на другую сторону, после чего всё повторится сначала. Если дыра пустая, то этот процесс будет теоритически повторяться до бесконечности. Если же она заполнена воздухом, то шарик в конце концов остановится в центре Земли.

ускорение замедлится, а вот по какому закону непонятно

плотность в-ва по мере приближения к ядру увеличивается. соответственно абстрактный шарик замедлится

Вы все буйволы или не внимательно читаете вопрос искажая его чтобы упростить и даете неправильные ответы. Написано же "ДО ЦЕНТРА" а не сквозь всю Землю. Вопрос действительно интересный, ускорение свободного падения должно уменьшаться по мере приближения к центру и в центре равно нулю. Инерция движения которую приобретет шарик пока будет лететь к центру конечно же останется, шарик ударится о породу в центре с силой хотя ускоряться уже не будет.

"Замедлиться ли его ускорение" - ускорение не может замедлится, а вот напряженность поля будет падать, причём пропорционально квадрату расстояния до центра земли. То есть поле будет разгонять шарик, но чеб ближе он к цетру, тем слабее оно его разгоняет.

а почему вы думаете что шарик будет постоянно ускорятся? мне кажется он наберёт постоянную скорость, равную скорости тела при свободном падении и, если ничего не помешает, полетит по инерции дальше, через центр земли, уже с замедлением скорости...

если какбы насквозь просверлить, то шарик со временем будет совершать гармонические колебания относительно гравитационного центра