допустим можно просверлить сквозную дыру через центр земли (гипотетически) и бросить стальной шарик что с ней будет?

В рамках классической механики гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m и M, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Если расстояние межу массами уменьшается, то уменьшается и сила взаимодействия, в конечном счете она будет равна нулю и шарик в центре Земли (центре масс) остановится. Никакой инерцией он обладать не будет, для этого ему нужно было бы придать изначальное ускорение, тогда бы он проскочил центр масс.

Сгорит, испарится.

Ответ при идеальных условиях - нет сопротивления воздуха, нет теплообмена и. т. п. - прост, как репа.
Будет вечно колебаться между концами тоннеля.

Идеально теплоизолированный и завакуумированный тоннель сделать нельзя (не говоря уже о том, что его вообще невозможно технически сделать) .
Поэтому давление в центре будет не меньше, чем на дне океана, а температура - побольше, чем в ацетиленовой горелке, да и скорость шарика будет явно космическая.
Так что гореть ему синим пламенем.

Окончательная версия - ничего с ним не будет - НЕ бывает таких тоннелей...

Если сопротивление воздуха долой, то будет вечно колебаться, как маятник, между симметричными точками на поверхности Земли. Гравитация в центре, естественно, равна нулю - тянет во все стороны одинаково, сумма сил нулевая. Однако к центру он полетит с большой скоростью и по инерции полетит дальше.

Стальной расплавится уже на первой сотне километров, берите керамику.

шарик не вылетит с другой стороны

а что с ней (с Землей или с дырой) может случиться?

с дырой конечно ничего не будет.
шарик если не сгорит в магме повиснет в центре земли - уравновесившись в итоге.

Если представить землю идеальным шаром, и отсутствием воздуха в дыре + не действуют силы притяжения лун, звезд и тд, то шар вылетит с противоположной стороны на столько метров от поверхности, на сколько кинули его с другой и будет она вечно колебаться. Это всё очевидно по закону сохранения механической энергии. Если же учитывать воздух, то она совершая трение о неё будет всё меньше и меньше колебаться туда-сюда и уравновесится в центре

останется внутри, посередке