На каком расстоянии от себя, Земля начинает притягивать космические тела?

Начинает притягивать космические тела начиная от центра Земли. А заканчивает притягивать на границе солнечной системы. А так как всё и вся во Вселенной поделено на сферы влияния, то на краю Вселенной гравитационное поле Земли вообще не действует.

На краю Вселенной (на самом деле немного ближе) .
Гравитационное поле не имеет границ, но его интенсивность, как и интенсивность многих других полей, падает пропорционально квадрату расстояния от источника.

Луна от Земли находится вдвое дальше, чему каакие-то жалкие 200 тыщ вёрст. И ничё, никуда не девается вон уже сколько миллиардов лет.. .
Так что вопрос бессмысленный. Гравитационное взаимодействие - дальнодействующее. Теоретически гравитационное поле Земли НИГДЕ не обращается в ноль. Другое дело, что ПРАКТИЧЕСКИ учитывать его моджно (или нужно) только до какого-то предела, где оно становится много меньше, скажем, гравитационного поля Солнца. Где именно - не штука сосчитать, если внимательно посмотреть на формулу закона всемирного тяготения. Притяжение пропорционально массе и обратнно пропорционально квадрату расстояния. Так что гравитационное поле Земли становится примерно равным полю Солнца на расстоянии, равном 1 а. е. , делённой на корень из отношения масс Солнца и Земли.
Арифметику оставляю на самостоятельную работу :)
_____________
Впрочем, там, скорее, важно не отношение сил притяжения, а отношение градиентов этой силы (только не бейте ногами за "градиент силы"). Куда скорее начнёт скатываться.. . А это уже алгебра, а не арифметика. Но всё равно не сложная.

На любом.

Теоретически воздействие гравитационного поля Земли будет на любом расстоянии.
К сожалению вопрос не совсем корректен

сила уменьшается пропорционально квадрату расстояния и действует на любом расстоянии

На любом, вопрос в том с какой силой и не компенсируется ли она притяжением других объектов

Насколько я помню, из курса физики формула есть, так там по идее число будет всегда, тоесть притягивать будет всегда, просто значения будут несравнимо малы.