Что есть математика? Наука или инструмент? Логика, пожалуй, туда же.

Большинство всех наук подразделяется на три большие группы:
1. Естественные науки - изучают природу (без проявления и следствия человеческого разума) .
2. Социальные (общественные) науки - изучают человеческое общество.
3. Гуманитарные науки - изучают внутренний мир человека.
(Есть еще и масса промежуточных наук, между этими тремя типами. )

Но есть еще две науки, которые не вписываются в эту классификацию. Это, так называемые, МЕТА-НАУКИ: математика и философия.
Предметом изучения математики являются количества и количественные отношения. Предметом изучения философии является качествои качественные отношения.

Поскольку количество и качество присутствуют во всех остальных науках, то мы, соответственно, встречаем математику и философию во всех остальных науках. В каких-то науках больше математики, в каких-то больше философии. Поэтому обе эти науки в своей прикладной части дают инструменты для других наук. В своей теоретической части они изучают чистые количественные и качественные отношения. А результатом их деятельности является разработка инструментов.

Поэтому сама математика это наука. Но она производит инструменты, которые применяют другие науки.

почему или?

что инструмент - очевидно, даже продавци товар считают. Но есть немалопримеров, когда открытия в физике делались чисто математическим путем.

И то, и другое. Почему обязательно "или"?

Хм.. . Никакое движение не есть в точности прямолинейное и равномерное.. . И материальных точек в мире нет. Однако с этого начинается раздел физики -- механика.

Наука - это и есть инструмент.
Инструмент познания.

Математика изучает соотношения, а не числа.

Математика это и наука, и инструмент, и искусство.
А логика это тоже математика, если вы не знали.
Плюс вы придумали определения, наука изучает не обязательно действительные объекты. Например информатика.

Первоначально возникла, как инструмент, а потом ушла в автономное плавание, сама изобретает разные структуры, изучает их свойства без всякого практического применения.

Математик - это только / чисто инструмент, при помощи которго можно как доказать, так и опровергнуть всё что угодно.
К примеру:
Математически можно неопровержимо доказать, что танк (Т-90) или грузовик - СОКОВЫЖИМАЛКА! Если танк или грузовик переедет по яблоку, то из яблока потекёт сок! Но разве это так? Разве танк соковыжималка? Ведь у танка совсем другая философия (предназначение).. .
Поэтому этим "инструментом науки" надо пользоваться очень осторожно, и только в сочетании с философией, где философия вседа должна стоять на первом месте.

По этой прчине лично Я, всему! , что доказано математически, не доверяю. Абсолютно не доверяю.

думаю в первую очередь инструмент, т. к. она создана для определенных целей.

Это и наука (не естественная, а точная, разве что) для теоретиков; и инструмент для инженеров, статистов и программистов; и прекрасное хобби и гимнастика для ума для меня и других сторонних людей. :)
Действительный объект исследования - логические конструкции.