Все мы знаем закон всемирного тяготения:
F = G * m1 * m2 / (R^2)
где R - расстояние между центрами двух тел.
Данный закон по определению верен для материальных точек, то есть тел, размерами которых можно пренебречь (принять условно за ноль) . Но данный закон применяют также тогда, когда по крайней мере одно тело нельзя считать материальной точкой, то есть, к примеру, в случае тела (Т на рисунке) , покоящегося на поверхности Земли.
Но будет ли работать данный закон в этом случае? Нам известна масса Земли, но неизвестно, где внутри планеты она сконцентрирована. Давайте рассмотрим два крайних случая.
Случай первый: основная масса Земли сосредоточена в её центре.
Рассуждаем.
Если масса сосредоточена в центре Ц Земли, то формулу можно как раз непосредственно и применить к данной ситуации, так как тело Т и центр Ц можно считать материальными точками.
Вывод для этого случая: закон применим.
Случай второй: основная масса Земли сосредоточена в сфере С. В таком случае саму сферу можно считать множеством материальных точек таких, что сумма их масс составляет основную массу Земли.
Рассуждаем.
Поскольку тело Т покоится на поверхности Земли, оно будет находиться в непосредственной близости от сферы С, и, в частности, от одной из материальных точек-частиц, из которых она состоит. Тогда расстояние R будет стремиться к нулю, а сила между телом Т и такой частицей - к бесконечности. В результате этого мы получим черную дыру, чего в реальности не наблюдается (хотя, кто знает ;-) ).
Итак, случай первый согласуется с реальностью, а случай второй - расходится.
Скажите, может я где-то ошибся в рассуждениях?
Здесь рассуждения не катят, задачи в физике решаются математикой. А математика говорит, что сферически симметричное тело тяготеет так, как будто вся его масса сосредоточена в центре.
задача решена еще Ньютоном.
Тонкая сфера притягивает к себе так, как будто ее масса сосредоточена в центре.
Кстати, для того он и изобрел интегральное исчисление.
Еще одна сходная, но гораздо меньше известная теорема, доказанная Ньютоном: сфера не притягивает к себе ни в какой точке внутри полости (не только в центре! )
1.3.2. Центр масс Земли
Центр масс Земли, или геоцентр, выбирается в качестве начала во многих системах координат, поскольку является очень устойчивой точкой в теле Земли. Эта точка реализуется по наблюдению спутников, движущихся в гравитационном поле Земли. Геоцентр рекомендован в качестве начала для земной референцной системы в (IERS, 1996) и (IERS, 2003) как центр масс Земли, включая океаны и атмосферу.
Анализ спутниковых лазерных дальномерных наблюдений уверенно показывает, что система отсчета, реализованная в координатах станций наблюдений, неподвижных относительно земной коры, ощутимо смещается относительно центра масс Земли.
В 1997 г. МСВЗ провела кампанию по исследованию стабильности геоцентра, в которой приняли участие 42 исследователя из 25 научных групп, использовавших современные геофизические модели и результаты обработки лазерных измерений, GPS и DORIS.
По оценкам Ю. В. Баркина (ГАИШ) , величина скоростей вековых движений в компонентах координат геоцентра составляет (IERS, 1999)
Вековые смещения в положении геоцентра можно объяснить такими причинами:
изменением уровня моря;
изменениями в ледяном щите (в Гренландии, Антарктиде) ;
тектоническими смещениями в земной коре (постледниковая отдача, движение тектонических плит, субдукции и др.) .
По результатам обработки реальных наблюдений выявлены годовые колебания в положении геоцентра (амплитуда около 4 мм по координатам X, Y и порядка 10 мм по Z), полугодовые, с периодами около 140, 60-70, 20 и 14 суток с амплитудами несколько миллиметров и с погрешностями амплитуд почти такого же порядка.
Общее мнение участников встречи таково, что движение отсчетной основы наземной сети относительно геоцентра поддается выявлению, но величина его небольшая, вероятно, не более 1 см по каждому из компонент. Учитывать изменения положения геоцентра в результатах измерений пока не рекомендовано (IERS, 1999)
"Но данный закон применяют также тогда, когда по крайней мере одно тело нельзя считать материальной точкой, то есть, к примеру, в случае тела (Т на рисунке) , покоящегося на поверхности Земли. " Вот в таком виде, как вы пишете, он не применим. Но ничто не мешает рассматривать Землю как множество элементарных объёмов, материальных точек, равномерно раскиданных по земле, сумма масс которых равна массе земли. И тогда всё прекрасно считается по тому же закону, но уже интегралом.
"Нам известна масса Земли, но неизвестно, где внутри планеты она сконцентрирована. " -- g везде примерно одинакова, а с поправкой на неровности Земли и инерцию от вращения -- вообще одинакова. Упрямый факт :-) А если чуть углубиться -- Земля ну никак не могла образоваться в своей сферической форме с центром масс, существенно удалённым от геометрического центра.
"Поскольку тело Т покоится на поверхности Земли, оно будет находиться в непосредственной близости от сферы С, и, в частности, от одной из материальных точек-частиц, из которых она состоит. Тогда расстояние R будет стремиться к нулю, а сила между телом Т и такой частицей - к бесконечности. В результате этого мы получим черную дыру, чего в реальности не наблюдается (хотя, кто знает ;-) )."
А ничего что со стремлением к нулю расстояния до центра масс элементарного объёма, к нулю так же стремится и его масса? :-) А масса, как известно, растёт как расстояние в кубе. Значит сила растёт как r^2 и убывает как r^3.
это надо знать внутренность земли, ископаемые. а этого не знает никто. поэтому точный рассчёт нельзя произвести.
Все мы знаем закон всемирного тяготения: 
Например, применительно к моему случаю я использовал понятие "материальная точка". Как выясняется, её нулевой размер учитывается математически не везде. Например, здесь не допускается, что покоящееся тело находится на расстоянии "ноль" от сферы.