Поезд, движущийся со скоростью 90 км/с, начинает тормозить и останавливается через 1 минуту. Какой путь он преодолеет ..

Напишу решение, так и быть.

Итак, в момент времени t = 0 начальная скорость составляет V = 90 км/ч = 1,5 км/мин; время торможения: t = 1 мин.
(Здесь и далее нулевые индексы опускаем. Единицы измерения - километры и минуты в соответствующей степени.)

Пусть ускорение изменяется линейно:
a(t) = a + kt
* В момент остановки имеем:
a(1) = a + k

Интегрируя, получаем зависимость скорости от времени:
V(t) = V + at + kt²/2
* В момент остановки имеем:
V(1) = V + a + k/2 = 0

Интегрируя ещё раз, получаем зависимость координаты от времени:
x(t) = x + Vt + at²/2 + kt³/6
Или для пройденного пути:
s(t) = x(t) - x = Vt + at²/2 + kt³/6
* В момент остановки имеем:
s(1) = V + a/2 + k/6

Рассмотрим три случая по порядку.
(Cкорость полагаем положительно направленной, а силу - отрицательно.)

1) a(t) = const = a, т.е. k = 0;
Из условий остановки получаем: a = -V = -1,5 (км/мин²)
Тормозной путь составляет: s(1) = 1,5 - 1,5/2 + 0 = 0,75 км.

2) a = 0, т.е. k ≠ 0 и отрицательно;
Из условий остановки получаем: k = a(1) = -2V = -3 (км/мин³)
Тормозной путь составляет: s(1) = 1,5 + 0 - 3/6 = 1 км.

3) a(1) = 0, т.е. k ≠ 0 и положительно;
Из условий остановки получаем: k = -a = 2V = +3 (км/мин³)
Тормозной путь составляет: s(1) = 1,5 - 3/2 + 3/6 = 0,5 км.

P.S. Среднюю скорость движения можно найти из выражения:
U = s(t)/t = V0 + a0t/2 + kt²/6 = V0 + (a0 + kt/3)t/2 = V0 + (3a0 + kt)t/6 = V0 + (2a0 + a1)t/6
В данном случае для торможения: U = V + a/3 + a(1)/6.

Ответ: 1) 750 м, 2) 500 м, 3) 1000 м.

надо было сказать "СВЕРХЗВУКОВОЙ поезд, движущийся со скоростью 90 км/с"

За минуту поезд проходит 1,5 километра. При линейном торможении за ту же минуту он пройдет ровно половину - 750 метров.

2 и 3 вариант по-моему нужно решать через интегралы/производные.