сколько на шахматной доске 8*8 имеется всевозможных прямоугольников, состоящих из шести клеток?

Фигвамы.. .
Я бы не так считал.
Прямоугольник из шести клеток возможен в 2-х вариантах - 3х2 и 6х1.
Кладём на доску первый вариант (3х2) длинной стороной (3 клетки) по горизонтали. Двигаем по одной клеточке по горизонтали. Максимум можем сдвинуть 5 раз. Итого имеем 6 вариантов (1 лежал и ещё потом 5 раз двинули) . Теперь двигаем по вертикали. 6 раз можем двинуть, всего 7 положений. По вертикали можем двигать из каждого "горизонтального" положения. Итого имеем 6*7=42.
Аналогично двигаем длинный прямоугольник 6х1.
По горизонтали 3 положения, и по вертикали 8. Итого 24.
24+42=64.
Ах да, ещё и на 2 надо умножить (если доску повернуть) .
То есть получилось тоже самое, что у предыдущего оратора, которому я сначала не поверил :-))))))
P.S. Наверняка есть какая-нить умная математическая штука, которая позволяет это делать аналитически...

А давай посчитаем.. . 1*6 по верхней горизонтали. На верхней горизонтали таких будет 3 (с началом в первой, второй и третьей клетке) . Всего горизонталей 8, значит прямоугольников 1*6 будет 24 штуки. Далее, 2*3 (два по вертикали и 3 по горизонтали) . По горизонтали таких разместится 6 штук, по вертикали - 7. Всего 42 штуки. Значит, (в силу симметрии) и 3*2 будет 42 штуки и 6*1 - 24. Всего 24 + 24 + 42 + 42 = 132 прямоугольника.

16

1296 по формуле 1^3+2^3+3^3+...8^3