Прямоугольник с простыми сторонами.

Составим Ваше уравнение:
P/2 =< Q * (SP/2)^(k+1)
Выведем из него Q:
Q >= P/2 * 1/(SP/2)^(k+1)
Q >= P/2 * (SP/2)^(-k-1)
Q >= P^(-k) * S^(-k-1) * (1/2)^(-k)
Q >= P^(-k) * S^(-k-1) * 2^k
Q >= ( SP^(-k) * 2^k ) / S
Как видите, нижней границей для Q от k будет (SP^(-k)*2^k)/S.
Можно рассмотреть тот случай, когда Q = (SP^(-k)*2^k)/S. Тогда, нижним пределом Q(k) будет 0, а верхним будет 1/S.
Сколько голову сидел, ломал, исчертил много бумаги, но так и не смог доказать существование... Надеюсь, хоть чем-то помог

гораздо проще показать, что УВЕЛИЧЕНИЕ ПЛОЩАДИ такого прямоугольника происходит по формуле s=kx^2

и попутно
ФОРМУЛА СКОРОСТИ изменения площади прямоугольника (У МАТЕМАТИКОВ ЭТО ТАК НАЗЫВАЕМАЯ типа мол производная) есть y'=2kx-1k, которая совсем не производная

и тут самое время привести основополагающую теорему мат. анализа = теорему Ньютона-Лейбница

БАЗА МАТ. АНАЛИЗА = площадь 3-угольника равна половине площади прямоугольника!
ТИПА МОЛ s=kx^2/2

а y'=kx-0,5k (нy, этот момент математики СКРОМНО умалчивают)

ЭТИ ФОРМУЛЫ, по факту, опровергают мошеннический мат. анализ
и тут смолчат абсолютно все математики, что есть в ОТВЕТАХ

А ИХ, ПОВЕРЬ, тут тьма, и даже больше

да
математики могут влезть
и напаскудить
но...
не более того

чё-то непонятно.
если стороны - простые числа (а даже и не простые, главное, не меньше 1), то и площадь, и полупериметр будут больше 1. тогда тупо полагаем Q(k) = 1 и получаем:
(SP/2)^(k+1) Q(k) = S^(k+1) (P/2)^k (P/2) >= 1 * 1 * (P/2) = P/2

Т. е. тебе нужно доказать, что для любого k > 0 сущесmвтует Q(k), такое, что для любых простых a и b справделиво
(a + b) <= Q(k) * (ab(a + b))^(k + 1)
Т. е. тебе нужно подорбрать Q(k), для которого Q(k) >= 1 / ((ab)^(k + 1)*(a + b)^k) вне зависимости от выбора простых a и b.

Положи просто Q(k) = 1, у этой твоей длинной дроби один фиг знаменатель больше 1, т. к. a > 1, b > 1, k > 0.

PS. А я видел тут другую задачку с совсем другим условием, сформулированном очень похожими словами - там "идея" условия была совсем другая, нужно было rad(ab(a+b)) для взаимно простых a и b в некотором смысле оценить снизу, где rad - это https://ru.wikipedia.org/wiki/Радикал_целого_числа