"В прямоугольнике проведена диагональ и в полученные треугольники вписаны квадраты площадями 24 и 25, как указано...

не знаю, поможет ли... у меня так получилось:

рассмотрим прямоугольный треугольник, в который вписан квадрат так, что одна сторона этого квадрата лежит на гипотенузе (словом, верхняя левая половина рисунка с оранжевым квадратом). если обозначить сторону квадрата A, а острый угол a, то:
длинный катет:
A cos a + A / sin a = A (sina cosa + 1)/sina
короткий катет:
A sin a + A / cos a = A (sina cosa + 1)/cosa
площадь треугольника:
A^2 (sina cosa + 1)^2 / sin 2a

теперь рассмотрим нижнюю правую половину рисунка, с голубым квадратом. пусть сторона квадрата равна B. получаем:
длинный катет
B + B / tga
короткий катет
B + B tga
площадь треугольника:
B^2 (sina + cosa)^2 / sin 2a

поскольку площади треугольников равны, то:
A^2 (sina cosa + 1)^2 / sin 2a = B^2 (sina + cosa)^2 / sin 2a
и получаем уравнение:
sina cosa + 1 = B/A (sina + cosa)

осталось решить это тригонометрическое уравнение, но как - я хз. если всё заменить на тангенс половинного угла, то выходит уравнение 4-й степени, которое решить, конечно, можно, но это нудная работа. или, наоборот, к двойным углам всё свести?..

единственное утешение - вольфрамальфа даёт всё те же 15 градусов, при этом умудряется выписать точное решение.

З.Ы. и вправду, к двойным углам:
A^2 (sina cosa + 1)^2 = B^2 (sina + cosa)^2
A^2 (1/4 (sin2a)^2 + sin2a + 1) = B^2 (1 + sin2a)
A^2 ((sin2a)^2 + 4 sin2a + 4) = 4 B^2 (1 + sin2a)
квадратное уравнение