Если двигаться со скоростью близкой к скорости света можно ли увидеть объект, движущийся с такой же скоростью навстречу?

Если в «будущем» светового конуса, то да … увидите.
… Световой конус можно определить как множество всех точек, для которых интервал, отделяющий их от данного события (вершины светового конуса) , светоподобен (то есть равен нулю) . Вершина разделяет поверхность светового конуса на две части. Одна часть поверхности лежит в области будущего по отношению к вершине и содержит все события, которых может достичь световой сигнал из вершины; можно представлять, что в событии-вершине произошла мгновенная вспышка. Другая часть содержит все события в прошлом, такие, что испущенный из них световой сигнал может достичь вершины.

С какой бы скоростью ты ни двигался, встречный свет ты все равно будешь получать со скоростью света. Скорость света не подчиняется арифметическому сложению, видишь ли. Она АБСОЛЮТНА, а не относительна.
Но объекта встречного ты все равно не увидишь - вот засада. Правда, не потому, что как-то изменилась скорость получаемого света - изменится вместо этого его частота. Получаемый тобой от этого объекта свет выйдет из видимого спектра, и далеко выйдет.

"Двигаться со скоростью... " - относительно чего? Просто так "скорость" не имеет смысла. Если это скорость, скажем, относительно Солнца, а скорость встречного объекта тоже относительно Солнца, то ваша скорость сближения меньше скорости света (согласно известной релятивистской формуле сложения скоростей) . Можно увидеть встречный объект.

Конечно, можно. Свет-то всё равно будет обгонять излучающий его объект.

Вашим дуальным разумом можно всё, при условии, что вы не только адского разума фантазёры, но и потому, что Карен уже пришёл!

Но Доплера эффект будет в сторону фиолетовую смещен сильно. Ультрафиолет не увидишь ты.

Нет. Свет от него просто не успеет долететь. Вы его не увидите (глазами).