Возможно ли четырёхмерное пространство? Если да, то как его представить?

Так называемые "измерения" или "координаты" - это независимые степени свободы. И с бытовой точки зрения человека пространство - это прежде всего такое место, где "живут" электромагнитное поле, гравитация и другие поля, т. е. это степени свободы электромагнитного поля, т. к. мы воспринимаем мир в основном через зрение (электромагнитные волны видимого диапазона) и именно через зрение мы привыкли видеть пространство трехмерным. Хотя в принципе это довольно объективно.
Но вообще можно рассматривать фазовые пространства, т. е. пространства состояний различных систем. Элементарно: если взять два независимых друг от друга самолета, то всевозможные состояния этой системы придется описывать 6 измерениями (3 измерения для одного самолета, и независимо 3 измерения для другого самолета) . Короче, чтобы записать координаты сразу их обоих как целого, нужны 6 чисел.
Можно вообще абстрагироваться от обычного понятия пространства. Так сказать, отвязаться от электромагнитного поля и гравитации. Вон, экономисты-производственники могут работать с фазовым пространством "Материальные запасы x Основные фонды x Инвестиции x Спрос x Конкуренция x Реклама" или что-нибудь типа того.
Квантовая физика - та вообще работает с бесконечномерными фазовыми пространствами.

Никак не надо. "Пространство" и "измерение" - понятия абстрактные, не имеющие прототипа в физическом мире. Они вымышлены сугубо для теоретических рассуждений. А представить себе ты можешь только то, что уже когда-нибудь видел. Ни пространство, ни измерение ты не видел, и не увидишь, т. к. они не существуют в природе. Поэтому представить ты не можешь, и не только 4-х, но и 3-х-мерного пространства. И даже одномерного - все равно не можешь :-)

В математике они есть и широко используются. Если считать одним из измерений время, то пространство-время в нашем мире представляет собой именно четырехмерное пространство, правда, с особыми свойствами - ось времени мнимая. Если говорить о физическом пространстве с четырьмя пространственными измерениями - вероятно, да, но такие Вселенные будут совершенно не похожи на нашу - там нет устойчивых орбит небесных тел и так далее.
Наглядно представить себе четырехмерное пространство нельзя, наш мозг на это не рассчитан.
Проекция вращающегося четырехмерного куба - тессеракта (это одна из простейших фигур) на наше пространство - так сказать, тень от него, будет выглядеть так:

Да, легко, просто сначала представьте n-мерное пространство, в котором возможны n взаимно перпендикулярных осей координат, а потом положите n=4.

мы и живем в 4-х мерном пространстве.

никак

пространство и так 4 мерно, оси x y z и время