Предмет, попавший в открытый космос, будет находиться в покое или непременно будет двигаться в сторону

Смотря как именно он попал в этот открытый космос.... Чтобы привести его в состояние абсолютного покоя нужно истратить кучу топлива и сильно постараться.
Например в рамках Солнечной системы предмет будет вращаться вместе с ней вокруг Солнца. В рамках галактики - вокруг ее центра. Если поместишь его между двумя галактиками - вокруг центра скопления галактик. У каждой точки пространства уже есть некое начальное ускорение.

И неизвестно. что больше - это начальное ускорение. или маленькая сила притяжения к далекому крупному телу.

вы не слыхали про такого Галилея? Покой в одной ИСО - равномерное движение в другой.

Двигаться он может в любом направлении. А ускоряться будет в направлении равнодействующей всех действующих на него сил, обычно в основном сил притяжения всех остальных окружающих его во Вселенной тел.

чтобы вывести спутник на геостационарную орбиту (состояние "псевдопокоя") его сначала выводят на близкую орбиту, потом "доводят" двигателями

Будет двигаться по своей траектории.

Блин, сначала подумал, что вопрос про Кориолисову силу на орбите, но нет. Вы что специально троллите в этой категории?

В сторону самого крупного

Все небесные тела движутся в покое! Это означает движение по прямой в пространстве-времени, в покое значит под действием только гравитации. И не всегда их траектории пересекаются, например, нельзя же сказать что Земля движется в сторону Солнца, иначе они бы столкнулись.

в покое

Не знаю. Сдаюсь.:)))