как решить задачку ???(геометрия, треугольники )

Получилось решить только координатным методом, да и то ответ не сходится 8-(
На всякий случай приведу свои выкладки, вдруг Вас натолкнут на мысль.

В общем, если связать с треугольником ABC систему координат, пустив ось абсцисс по стороне AB, а ось ординат по стороне AC, то координаты точек треугольника будут такими:
A = (0, 0)
B = (b, 0)
C = (0, c)
C1 = (b/2, 0)
Векторы:
CC1 = (b/2, -c)
BC = (-b, c)
Тогда направляющий вектор прямой AA1, перпендикулярной вектору BC, будет иметь вид: (c, b)
Следовательно, прямая AA1 будет иметь уравнение: x / c = y / b, или bx = cy
Прямая CC1 имеет уравнение: x / (b/2) = (y-c)/(-c), или -2cx = by - bc
Из этих двух уравнений можно найти точку пересечения O прямых AA1 и СС1:
bx = cy
-2cx = by - bc
Получаем, O = (bc^2 / (b^2+2c^2), b^2c / (b^2+2c^2))

Теперь найдем уравнение прямой BB1. От точки B по оси абсцисс в сторону точки A отложим отрезок длины sqrt(b^2+c^2), получим точку D = (b-sqrt(b^2+c^2), 0)
Тогда вектор BD будет иметь координаты: (-sqrt(b^2+c^2), 0)
Сумма векторв BD и BC даст направляющий вектор прямой BB1:
(-b-sqrt(b^2+c^2), c)
Отсюда легко получить уравнение прямой BB1:
(x-b) / (-b-sqrt(b^2+c^2)) = y/c
cx - cb = -by - y sqrt(b^2+c^2)
cb - cx = (b + sqrt(b^2+c^2)) y

Подставим теперь в это уравнение координаты найденной ранее точки O. Получаем:
cb - bc^3 / (b^2+2c^2) = b^3c / (b^2+2c^2) + b^2c / (b^2+2c^2) sqrt(b^2+c^2)
1 - c^2 / (b^2+2c^2) = b^2 / (b^2+2c^2) + b / (b^2+2c^2) sqrt(b^2+c^2)
b^2+2c^2 - c^2 = b^2 + b sqrt(b^2+c^2)
c^2 = b sqrt(b^2+c^2)
(c/b)^2 = sqrt(1+(c/b)^2)
Сделаем замену: t = (c/b)^2. Тогда:
t = sqrt(1+t)
Решаем это уравнение, получаем:
t = (1 + sqrt(5)) / 2
(c/b)^2 = (1 + sqrt(5)) / 2
c^2 = (1 + sqrt(5)) / 2 * b^2

Теперь можно положить b = 1, чтобы не таскать лишние буквы. Получаем:
меньший катет: b = 1
больший катет: c = sqrt((1 + sqrt(5)) / 2)
гипотенуза: sqrt(b^2+c^2) = sqrt((3+sqrt(5))/2)

Отсюда легко найти синус наименьшего угла:
b / c = sqrt(2) / sqrt(3+sqrt(5)) = sqrt((3-sqrt(5)) / 2)