Декартовы оси и гильбертово пространство.

Начнем с того, что их одним махом за один год не проходят обычно.
Конечномерные - это первый курс, бесконечномерные - второй-третий.

Куда Вы гоните лошадей? Или нужно просто словцо покруче в текст вставить?

Элементами всех этих линейных пространств являются векторы. Вектор и линейное пространство определяются аксиоматически. При наличии тех или иных дополнительных "хороших" свойств пространство получает то или иное дополнительное название. Например, если дополнительно есть скалярное произведение и пространство полное, то оно гильбертово. Если есть норма (модуль вектора) и оно полное, то оно банахово. Если есть топология, то оно линейное топологическое. И т. п.

Ваше пространство - вообще арифметическое. Оно обладает почти всеми хорошими свойствами, которыми линейные пространства могут обладать. Там есть скалярное произвдение->норма->метрика->топология, оно полное, оно конечномерное, там еще и сразу задан ортонормированный базис, там все числа действительные.
Если вставите умное словцо типа "гильбертово", это будет означать, что часть свойств Вы принципиально не используете. Оно Вам нужно, думать над этим?

Лучше скажите просто "двумерное арифметическое", там все [потенциально] нужные Вам свойства учтены сразу. Что Вам с того, что оно - гильбертово.
Может, часы - это прибор, да. Но только зачем часы называть "прибором", если Вы говорите только лишь о часах.
Вы же не скажете на улице кому-нибудь "подскажите мне показания прибора, пожалуйста".

Гильбертовым пространством чаще всего называют бесконечномерное евклидово. Евклидово - это такое, в котором задано скалярное произведение. Геометрическое конечномерное пространство евклидово.

Мне кажется, вы путаете координатые оси и собственно само пространство. Евклидово (гильбертово) пространство остается таковым _независимо_ от того, какими координатными системами мы пользуемся для его описания.