Подскажите почему в этой задаче можно пользоваться данной формулой? (физика, внутри)

я так понял проблема осталась в формуле a = V^2 / r ?
Так для ее применения не важно равномерно ли тело по окружности летает или нет. Подставляете скорость в конкретной точке, получаете ускорение в этой точке. А там уже и к силе легко перейти.
В книжке опечатка в ЗСЭ вместо r в знаменателе двойка должна быть. Это даже видно, когда из последней системы - при решении автор на 2 домножает, а не на r.

Речь идет о силах, когда грузик находится в нижней и в верхней точке траектории.
Центробежная сила разная по величине в разных точках, но нас интересуют только две точки. При этом надо знать скорость в каждой из этих точек.

СИЛА по всей длине НИТИ ОДИНАКОВАЯ.
нИКАКИХ ФОРМУЛ.

Вплоть до некоторого значения. И начиная с некоторого большего единицы, в пределе стремящегося к единице.

Такими двумя крайними случаями являются:

— некая минимальная скорость вращения, когда еще не происходит падения по параболе,
— бесконечно большая скорость вращения, когда что вычесть силу тяжести в верхней точке подъема, что добавить ее в нижней в пределе не изменит реакции связи (натяжения нити, стало быть).

Со вторым всё понятно, но поясню. Реакция связи в верхней точке ищется как разность между той центростремительной силой, обеспечивающей равномерное движение тела по окружности и силой тяготения, берущей на себя создание части необходимого центростремительного ускорения. Нити достается уменьшенная часть.

В нижней точке обе эти силы направлены в противоположные стороны и потому нити приходится создавать центростремительную силу, так и компенсировать силу тяготения: нагрузка на нее выше на последнюю.

Заканчивая со вторым случаем, подводим итог: сила тяготения то вычитается из центростремительной силы, то суммируется с ней. При бесконечно большом кол-ве оборотов и, соответственно, бесконечно большой центростремительной силе что добавить к ней силу тяжести, что вычесть даст один и тот же результат, почему и отношение натяжений нити в верхней и нижней точках будет 1 (единица).

Итак, нижний порог отношения мы знаем. Теперь надо найти минимальную скорость вращения, чтобы груз не сорвался с окружности. Для образности, вспомним цирковой трюк "мертвая петля", когда мотоциклист влетает на круговую петлю и, если скорость у него недостаточна, падает на землю на траектории снижения. Так было с недавно зависшим в верхней точке аттракционом "Кобра", который готовили после зимы к эксплуатации на ВДНХ — сработала автоматика и не дала тележкам упасть: скорость была ниже, чтобы пройти петлю.

Самая низкая скорость внизу, когда еще тело долетит доверху, связана с кинетической энергией, которая преобразуется в верхней точке в потенциальную. Но она катастрофически мала: в верхней точке тело полетит вниз по параболе, сорвется с окружности. Увеличим скорость — сорвется позже. Надо определить такую, когда ни в одной точке окружности не произойдет отрыва от нее.

Решение этой задачи уже известно: скорость должна быть такой большой, чтобы тело могло взлететь на высоту, равную, если не ошибаюсь, 5/3 Н, где Н — высота (диаметр) петли.

Теперь, когда постановка задачи ясна, попробуй сама решить. Не получится — спрашивай, мы тут, на подхвате.

Задайте скорость v в одной из точек, например в верхней, и кинетическую энергию.
Посчитайте разницу потенциальных энергий между верхней и нижней.
Вычислите сумму, это будет кинетическая энергия в нижней точке, и затем получите скорость в нижней точке
Отсюда вычисляются центробежные силы вверху и внизу, - и силы.

Конечно, можно заняться составлением дифференициальных уравнений и решать их по-честному, но это на любителя )))

Эта формула работает для мгновенной скорости, то есть при любом движении, равномерном или нет.

Ваша задача принципиально не верна, иначе все двигатели с различными насадками "прыгали" как лягушки. С чего Вы взяли, что скорость тела в разных точках разная? Причём здесь "g". Тело не падает. Алексей Замятин прав. Да привяжите карандаш за нитку, покрутите сами его в любой плоскости. Палец очень чувствителен. Убедитесь в своём заблуждении. И что с того, что преподаватель МИФИ его сочинил? Если бы академик Ландау предложил бы своё решение на разрыв лески бывалым рыбакам, то давно бы кормил рыб своим телом. А ведь его "заморочки" печатали в задачниках для олимпиад.