Объясните, пожалуйста, что такое запас магнитной энергии

Вот так, катушка пытается сохранить ток - у нее есть индуктивность.
Это вроде явления инерции в механике.

Тело можно заставить работать, забирая у него скорость (кинетическую энергию). И катушку можно заставить работать, забирая у нее ток. И даже формулы очень похожие.
Ток меняется - магнитное поле (стрелочки такие с индукцией) меняются во времени, и вот при таком изменении поле может гонять заряды по замкнутому контуру, совершая работу (Вы еще спрашивали недавно про это).

точно так же. Только он долго не хранится.

Когда через электромагнит проходит ток около катушки образуется магнитное поле, оно раздувается как воздушный шар. Когда прекратить подачу тока, Тогда магнитное поле схлопывается стягивается обратно и это происходит настолько быстро что оно проходя через витки катушки генерирует у них некоторое напряжение и мы видим что после отключения катушки из большой индуктивностью между контактами проскакивает искра самоиндукции.

Есть понятие коэрцетивная сила! Эта сила зависит от материала в котором проявляются магнитные свойства (обычно это материалы изготовленных из атомов железа, хрома, гадолиния и др.), в которых содержатся атомы, на орбитах (S, p, d и др.) ядер которых вращаются неспаренные электроны. Электрон несёт всегда электрический заряд и спин. Вращаясь вокруг ядра заряженные электроны создают магнитное поле. Ось вращения электрона (спин) старается ориентироваться в наведённом магнитном поле в соответствии с самым энерго не затратном направлении.
Так вот эта ориентация спина электрона сильно зависит от орбиты вращения (орбитали S, P, d, др.) и количества электронов на этой орбите и чётности электронов на орбите. Так с учётом этих факторов сила (коэрцетивная) при изменении заряда (количества свободных электронов) в материале и изменения внешнего поля, меняется внутрення энергия вращающихся электронов, вызывая образование нового поля, поля самоиндукции.

возможно речь идёт об остаточной намагничености: когда при падении напряженности магнитного поля до 0, магнитная индукция не падает и намагниченный материал некоторое время сохраняет магнитные свойства.