Бутылка Клейна- не понимаю...

Есть такая наука - топология. Она работает с "резиновыми" объектами. То есть все фигуры, тела, поверхности, линии можно как угодно деформировать, гнуть, искажать, растягивать или сжимать - с точки зрения топологии ничего меняться не будет.
Топология - это геометрия, в которой нет места понятиям расстояние, форма, угол. Линия не бывает здесь прямой или кривой - это просто линия. Поверхность не может быть вогнутой или выпуклой, или плоской - это бессмысленные для топологии слова. Но зато топология различает отрезок и замкнутую линию - это для нее разные объекты.

Лист Мёбиуса (другое название — Лента Мёбиуса) — топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.
Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. (возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны) . В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту пополам по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента» . Если теперь эту ленту разрезать посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.

Близким «странным» геометрическим объектом является Бутылка Клейна.

В математике Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность рода 1, т. е. поверхность (двумерное топологическое пространство) , у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.

Чтобы сделать бутылку Клейна, необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве) , присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края» , где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи») .

Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flache (поверхность) , которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка) .

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса