В чём суть теоремы Пуанкаре, которую доказал Перельман?

Анри Пуанкаре выражал уверенность, что любое компактное трёхмерное пространство, в котором некоторая воображаемая петля может быть затянута в точку, может быть представлено в виде трёхмерной сферы, называемой S3. «Суть этого в следующем: если вы имеете некоторую поверхность, и вы знаете, что она имеет предельные размеры без каких либо ограничений, то она должна быть также и сферой, если петля таких размеров может быть стянута в точку (и соответственно, пространство не может быть сферой, если любая петля не может быть стянута полностью) ” [Chang, 2006]. Для философского контекста особенно важно отметить, что теорема Пуанкаре-Перельмана содержит идею о том, что две структуры пространства возможны в глобальной вселенной.

вообще-то в математике что одно измерение, что бесконечность - пофиг. Это у вас с детства такое впечатление, что геометрия только о плоскости или 3-мерно пространстве может быть

Да доказал, решил математический ребус который к реальной геометрии вселенной не имеет отношения.

В топологии есть гомотопическая эквивалентность. Там в определении много умных слов. Прикол в том, что ее удобно анимировать.
Есть гомеоморфизм. Это тоже эквивалентность. Вообще говоря, другая. Прикол в том, что математическое определение гомеоморфизма очень простое.

Обе используются. Обе распространенные. Обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит, что для гомотопическая эквивалентность конечномерной сфере - то же самое, что гомеоморфизм. То есть в каком-то частном случае это одно и то же.

Интереснее другое: почему это одна из задач тысячелетия. Их вообще мало, большинство из них имеют отношение к физике. Гипотеза Пуанкаре имеет какое-то отношение к космологии и астрофизике, вроде бы.

Суть в том, что наша вселенная натянута на поверхность невероятно большого "мыльного пузыря". И если этот пузырь люди научатся сжимать, то станут возможны моментальные перелеты в любую часть вселенной.

4-х мерная сфера