Как найти точную массу произвольно взятой части неоднородного, недеформируемого и неразрушимого стержня?

Ну, в кач-ве идеи. Пусть эта часть с торца стрежня находится - решим эту задачу, решим и начальную.
Делаем вот что. Есть две части стержня. Сумму масс этих двух частей измерили, кстати. Дальше смотрим т. Гюйгенса-Штейнера. Меряем моменты инерции стержня относительно разных осей, составляем систему уравнений. В кач-ве переменных там будут массы этих двух частей и координаты их центров масс. Сойдет?

Если плотность стержня всюду одинаковая, то:
1) Взвешиваем весь стержень. Объём стержня измеряем, погрузив стержень в сосуд, налитый до краев водой - объём стержня равен объёму вылившейся воды. Плотность равна массе стержня, деленной на его объём.
2) Погружаем стержень в сосуд, полный воды, до 1-й границы искомого участка стержня, тогда объём нижней части стержня равен объёму вылившейся воды.
3) Продолжаем погружение до 2-й границы участка, тогда объём искомого участка равен 2-му объёму вылившейся воды.
4) Умножаем плотность на 2-й объём - получается масса искомого участка.

Произвольно.

У вас что, реальный стержень, который можно взвешивать и т. п.? Словечки "недеформируемый" и "неразрушимый" подсказывают мне, что это не так. Интеграл плотности от и до не подойдет?

...ваш вопрос, как найти то, что всё время находится в стадии развития? Да к тому же в произвольной форме!!! Вы хоть понимаете, что такое - произвол? ..что такое - линейная функция? При всём вашем дуальном желании линейной функции не существует... любой рассматриваемый вопрос, есть вырванная из контекста - некая часть... у вечного двигателя нет родов... это единая бесконечность.... вы спрашиваете почему у трения нет энергии в некоторых гравитационных процессах, хотя если рассматривать логично, то получается, что всё стоит на гравитациях, а это значит, что всё стоит на энергиях? потому что вариантов решений одного процесса имеет бесконечность решений... в таком случае получается, что решения в итоге ровны поставленным задачам.... вы должны понять, что поставленная задача уже есть решение... вашему дуальному разуму понять - это нельзя... вы должны страдать...

У массы есть 2 свойства, которые широко используются для измерения величины этой самой массы.
1. Способность массы притягиваться к другим массам. Используется для точных измерений. Между измеряемой массой и известной массой помещают устройство, измеряющее силу притяжения. Силу притяжения называют "вес", массу из веса вычисляют по всем известной формуле.
2. Масса обладает инерцией. Это свойство чаще используется для приблизительных измерений, особенно тогда, когда первый описанный способ использовать затруднительно. Тело с измеряемой массой несколько раз разгоняют и тормозят. По силе инерции приблизительно определяют массу. Пример: для того, чтобы определить не спрятана ли в дверь автомобиля контрабанда, таможенник рукой качает на петлях эту дверь в одну и другую сторону.
Какой способ вам удобнее для определения массы куска стержня, тот и используйте.