216 - это 6 в кубе
6 - это 2 * 3,
а 10 - это 2 * 5
Значит число 2160 факторизуется так: (2 * 3)^3 * 2 * 5 = 2^4 * 3^3 * 5.
Теперь как найти общее число различных делителей.
Берём число 1, являющееся делителем любого натурального числа.
Числа 2, 2^2, 2^3 и 2 ^4 дадут четыре различных делителя.
Добавляем к ним 1 (формально, 2^0), получаем пять различных делителей.
Эти делители могут умножаться на каждый из делителей числа 3^3*5.
Число делителей числа 3^3 * 5, равно, очевидно, 8 - ведь делителями будут числа 1, 3, 3^2 и 3^3, при этом каждое может умножаться на 5 либо нет. Если они не умножаются на 5, то дают четыре делителя, а если умножаются, то ещё четыре различных, итого 8.
Каждый из делителей числа 2^4 (5) может умножаться на каждый делитель числа 3^3*5 (8).
Таким образом, общее число различных делителей числа 2160 равно 5*8 = 40.
Эти делители приведены в таблице, легко видеть, что других делителей нет.
В общем же случае число делителей числа А = p1^q1 * p2^q2 * ...* pn^qn, где p1, p2, ..pn - простые делители числа А, q1, q2, ..qn - показатели степеней при простых делителях, равно C = (q1 + 1)*(q2 + 1)*...*(qn + 1)
В данном случае А = 2160, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, q1 = 4, q2 = 3, q3 = 1. По формуле получаем С = (4 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 5 * 4 * 2 = 40.
