Связь преобразования Фурье и Z-преобразования

Посмотрите здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform#Relationship_to_Fourier_series_and_Fourier_transform

Хочу добавить: Z-преобразование рассматривает всё на одном дискретном спектральном периоде, а для описания сигнала с сильно разнесенными частотами с ДПФ требуется учет всех спектральных периодов, хотя результат будет тем же: все спектральные дискреты отображаются во всех спектральных периодах и потому достаточно рассматривать их лишь в первом. Одним словом, Z-преобразование исключает многократное вращение вектора, заменяя его лишь одним оборотом.

Пример: надо описать взаимодействие частоты 10 Гц и 1011 Гц. Не вникая в проблему правильного выбора частот дискретов, предположим, что делаем неоптимальный (плохой) выбор базиса, равного 100 дискретам.

10 Гц занимают в первом периоде дискрет, как и полагается, с номером 10. Отмечаем его на шкале частот (по ординатной оси у нас амплитуды этих частот), рисуем "палку".

1011 Гц находятся в 11-м периоде, где располагаются отсчеты для частот от 1000 до 1099 Гц, на 11-м месте (отсчет всех частот идет от 0, т. е 100, 200,...) и одновременно в силу спектральной периодичности во всех остальных периодах тоже на 11-м месте!

Получается колоссальная экономия: вместо необходимых по теореме Котельникова 2 * 1099 точек достаточно лишь 100 (можно и меньше, потому, что 100 — плохой для данного наглядного случая выбор).

Что имеем:

— спектральный период = 100
— одна частота в нем = 10 Гц
— вторая частота = 11 Гц, а не 1011.

Теперь ясно, что базовый спектральный период мог быть и меньше. У меня получилось 11 Гц при описании частот до 1012 Гц (всего 92 периода по 11 Гц: 11 * 92 = 1012).

С этим многократным вращением вектора приходится бороться: точность расчетов падает. Кроме того в смещенном ДПФ (смещенное это когда есть еще и гетеродин, например — сильный сигнал) приходится так модифицировать "вручную" ДПФ, что оно превращается в Z-преобразование, даже и не подозревая об этом! :)

Да... Сложную участь ты выбрал, но не отступать же!..

Успехов!