Какой физический смысл имеет преобразование Фурье?

Это спектральная характеристика процесса.
Показывает зависимость амплитуды колебаний от частоты.
Под процессом понимается, естественно, не только процесс по времени (сигналы, волновые пакеты, осцилляторы и т. п.) , но и структуры в пространстве. Например, это могут быть структуры в твердом теле (доменная структура, кристаллическая структура и т. п.) , структуры типа стоячих волн, структуры типа решетки Бенара и т. п.
Это если говорить о классическом преобразовании Фурье по синусам и косинусам.
Если Вы берете в качестве ортогонального базиса другой набор функций (полиномы Лежандра, Лягера, функции Бесселя, Эрмита, эллиптические и т. п.) , то, в математическом смысле, Вы делаете разложение функции, как вектора в бесконечномерном пространстве по его координатному базису. А физический смысл обобщенного преобразования Фурье в каждом базисе уже свой и зависит от выбранного Вами базиса ортогональных функций.
Например, если Вы решаете стационарное уравнение Шредингера для атома водорода, то применяете обобщенное преобразование Фурье с такими базисными функциями, которые соответствуют стоячим волнам волновой функции электрона в трехмерном пространстве. То есть сам электрон не колеблется. А колебания совершает его волновая функция. И квантовые числа электрона характеризуют моды колебаний именно волновой функции.
Обобщенное преобразование Фурье встречается в любой задаче на собственные значения и собственные функции. То есть любой оператор имеет своё соответствующее обобщенное преобразование Фурье. Классическое преобразование Фурье с базисом из синусов и косинусов соответствует оператору импульса. Поэтому можно сказать и так, что физический смысл преобразования Фурье это разложение какой-нибудь функции по ортогональному базису какого-нибудь оператора физической величины. В квантовой механике это означает, что мы смотрим распределение данной функции по таким состояниям, где данная физическая величина имеет определенное значение. Например, классическое преобразование Фурье по синусам и косинусам показывает как распределена функция (например, волновая функция, но не обязательно она) по таким состояниям, где импульс строго определен.
А если Вы в классической механике делаете разложение по косинусам и синусам, например, разложение волнового пакета, то фактически Вы тоже делаете разложение волнового пакета по его импульсам. В отличие от монохромной волны, где импульс строго определен (а координата, наоборот, размазана по всему пространству) , в волновом пакете распределение импульсов связано с распределением координат соотношением типа соотношения неопределенностей в квантовой механике. Каждой монохромной волне в составе волнового пакета соответствует строго определенный импульс. Поэтому спектр волнового пакета показывает распределение импульса волнового пакета.

Определение спектральной характеристики сигнала?

Если в приборе, то так - подается импульс, а потом измеряется отклик. Фурье раскладывает его на сумму гармоник. Частотный спектр гармоник - это резонансный спектр, снятый на этом приборе.
Без Фурье приходилось бы сканировать весь диапазон частот, а это долго, неточно, да и для образца часто такие интенсивности облучения неполезны.

Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.

Есть методичка по Защите от Шума. В ней показано как Фурье уровень Шума изменяется в зависимости от частоты волны. Вообщем если охота сделать источник инфразвука от чего весь дом с ума сойдет. То понимание физического смысла ряда Фурье просто необходимо.
П. С. Длинные короба вентиляции или стояки системы ТЗ В1 для плюс источник шума. Редкая "вещь".