Зачем нужно преобразование Фурье?

Дополню к сказанному.
Фурье - сильнейший инструмент в любых алгоритмах фильтрации и распознавания.

На практике - JPG, MPEG, MP3 - все работают через косинусное преобразование.
Вся обработка звука начинается именно с разложения посколько 2/3 эффектов делаются в спектральной области.

Ну и "посторонние" применения - корреляция сигналов считается быстрее всего через спектральную область. а этого навалом и в фотограметрии, и у вояк, и даже в в оптической мышке.

через спектр делается и быстрое умножение. См. алгоритм Штрассена. Реально в коммерческих программах это не обязательно чистый Фурье, но некий целочисленный аналог. А быстрое умножение - большинство алгоритмов шифрования.

В дополнение к Gerastrat и Mikhail Levin
В результате преобразования создается словарь, для сжатия файлов и можно выбирать степень сжатия относительно скорости сжатия в архиваторах. Выбор алгоритмов сжатия.

Чтобы взять тройной интеграл по объёму ;-)

Преобразование Фурье применяется при аналитическом спектральном анализе сигнала, в случае, когда сигнал непериодический, периодический сигнал раскладывается в ряд Фурье, т. е. имеет дискретный спектр, непериодический сигнал имеет сплошной спектр. Преобразование Фурье - это предельный случай ряда Фурье для периодического сигнала с бесконечно большим периодом.

Цифровая обработка сигналов.

Используется для так называемого гармонического анализа сигналов. Наглядно показывает распределение энергии колебаний по шкале частот и фазовые характеристики. Имеет глубокую аналитическую проработку, что позволяет с успехом применять для анализа и синтеза линейных и нелинейных систем (в частности электротехника, электроника) . Особое место занимает Дискретное и БЫстрое преобразование Фурье, в частности в цифровой обработки сигнала. И ешё теорема Хинчина-Винера - косинусное преобразование фурье, важное значение в теории случайных процессов.

Вот только в этом симестре проходил.... млин.. . забыл))