Вопрос по поводу ряда Фурье

.
Ряд Фурье, это разложение функции по набору ортонормированных функций.

Это аналог разложения вектора по ортонормированному базису векторов. В пространстве N измерений мы любой N-мерный вектор можем разложить по набору единичных N векторов, которые перпендикулярны друг другу.

Точно также функцию можно разложить по бесконечному набору таких функций, норма которых равна единице, и скалярные произведения двух разных таких функций равны нулю.

В качестве такого бесконечного набора ортонормированных функций можно взять самые разные наборы. Например, функции Бесселя, полиномы Лежандра, полиномы Чебышева, полиномы Лягера, полиномы Эрмита и т. д. Для разных целей, областей определения функции и характера функции берется тот или иной набор.

Классическим преобразованием Фурье называется разложение по синусам и косинусам. Набор синусов и косинусов очень удобен, когда разлагаемая функция периодическая. Поэтому периодические функции разлагаются в ряд Фурье по косинусам и синусам.

Преобразование Фурье, это процесс нахождения коэффициентов данного разложения. Это аналог того, как ищутся координаты вектора в обычном пространстве. Берется скалярное произведение вектора на единичный вектор координатной оси. Для функций всё точно также. Берется аналог скалярного произведения функции на функцию из ортонормируемого набора.
Чаще всего это интеграл от произведения разлагаемой функции и базисной функции по некоторому отрезку. Например, именно так ищут коэффициенты разложения в случае классического Фурье.

.

А теперь самое интересное. Зачем это нужно?

Функциональное пространство функций является бесконечномерным. Значит в ряду Фурье бесконечное число слагаемых.
Поэтому, чтобы такая сумма не была равна бесконечности, нужно, чтобы коэффициенты разложения достаточно быстро убывали. Только тогда ряд Фурье будет сходиться.

А это значит, что отрубив бесконечный конец этого ряда Фурье и оставив только несколько первых слагаемых, мы получим хорошее приближение этой функции с помощью конечной суммы простых слагаемых. Простые слагаемые в том смысле, что их, например, легко посчитать на компьютере.

Например, в классическом разложении Фурье периодической функции мы приближенно заменяем функцию на конечную сумму синусов и косинусов. Значения синусов и косинусов очень быстро считаются на любом компьютере.

На Вики есть статья - смотри там динамический график ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5
В основном когда говорят о ряде Фурье - имеют в виду тригонометрические ряды.
Идея какая, если смотреть на это физически. Мы довольно легко можем создавать колебания-синусоиды. Разной частоты, разной амплитуды. Если бы мы могли любое колебание разложить на сумму синусов-косинусов (любых частот, любых амплитуд, с любой начальной фазой) - мы могли бы простым образом воспроизводить это колебание. Примерно такая же идея в проигрывателях некоторых типов файлов.
Ряд Фурье - и есть представление какого-то колебания в виде суммы просто анализируемых других колебаний. Применяется широко - для анализа звуков, образов, колебаний стоимости валют и т. д.

Вот на рисунке - колебания курса валют и разложение реального колебания на сумма простых (синусоид).

Ряд фурье это способ аппроксимации участка функции через сумму гармонических колебаний разной амплитуды и фазы.
Применяется, в частности для спектрального анализа, фильтрации сигналов, распознавании образов.
Формул не привожу. Посмотришь в учебнике.