Сохранится ли температура жидкого Азота, если ему не давать испариться, держать в закрытом сосуде?

Нет.
В закрытом сосуде необходимо обеспечить, чтоб он находился при температуре ниже критической (-141С), так как выше ее он может существовать только в виде газа при любом давлении. То есть, если приток тепла все-таки будет, то он потихоньку будет испаряться, а давление внутри сосуда - расти, причем очень сильно расти. И тут все зависит от прочности сосуда - может и разорвать.

Нет, не сохранится. Он спокойно нагреется до комнатной температуры и останется жидким - при условии, что сосуд герметичен и достаточно прочен, т. к. давление в нем возрастет очень сильно.

Температура поддерживается за счёт испарения. если не давать испаряться, то температура будет его будет равна температуре сосуда и окружающей среды.

Можете просто взять кусок льда с тем же успехом.

Смтр. изохорный процесс. Если-же подразумевается, что этот сосуд будет еще и неким "абсолютным" термосом, то да, сохранится

Нет

нет, просто будет увеличиваться давление

Не выйдет. Критическая температура азота -147,1°С, при температуре выше критической он не будет конденсироваться ни при каком давлении. То-есть вы просто получите закупоренный сосуд с азотом в сверх критическом состоянии с температурой равной температуре окружающей среды, сосуд должен быть прочным, так как критическое давление азота 33,5 атмосферы. Что бы сохранить азот в жидком состоянии его надо постоянно охлаждать, в теории можно изолировать от контакта с внешней средой, но идеальных термосов не существует. Соответственно вечный двигатель не получится, на охлаждение затратите больше чем получите.

В закрытом сосуде жидкий азот будет впитывать тепло окружающей среды
а давление будет увеличиваться .
Жидкий азот нагреется до температуры окружающей среды с бОльшим внутренним давлением .
Дальнейшее увеличение давления невозможно по причине внутренней энергии молекул
которые вытесняют излишки температурных частиц в виде большей температуры .

Ну вы сами подумайте, представив не азот, а например, замороженную курицу - если ее положить в закрытый сосуд, она останется замороженной или все же что-то изменится? Азот при этом ничем от курицы не отличается, кроме того, что жидкий. Конечно, есть специальные термосы, которые позволяют сильно замедлить процесс нагревания и испарения азота, но для длительного хранения его всегда постоянно охлаждают.