В каком множестве больше элементов: во множестве натуральных чисел или в действительных? Какая из бесконечностей больше?

Мщность множества действительных чисел больше, чем мощность множества натуральных. Это доказал Георг Кантор фантастически красивым способом (диагональный метод).
Воя я вам объяснение дам прямо из Детской энциклопедии (там я с ним и познакомился и оно меня поразило).
http://childrenpedia.org/2/page379.html

множества равномощны, если можно установить взаимно-однозначное соответствие между элементами.

между натуральными числами и действительными установить соотвтествие нельзя, доказано Кантором.
между нат. числами и, например, квадратами - можно.
1 <-> 1
2 <-> 4
3 <-> 9
...

Есть понятие мощности множества. Вот по нему и сравнивать.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества
Бесконечности можно сравнивать. Некоторые "бесконечнее" других. Более подробно
http://dunaevv1.narod*ru/other/infinity.htm (заменить * на . )

о, опять ты. Как движутся наши дела по-поводу моего вечного "бана"? Ты же обещал это сделать, почти кровью клялся, Обещания надо выполнять. И очень интересно еще раз послушать твой "плач Ярославны", когда ты жалуешься на меня модераторам. Что-то типа: "Дяденьки, меня большие мальчики обижают, головой в унитаз макают". Так?

Рассуждение неправильное. Бесконечные множества не есть продолжение конечных. На любом шаге они останутся конечными, сколько их ни продолжать. Чтобы различие подчеркнуть, иногда говорят о "потенциальных" и "актуальных" (то есть, состоявшихся) бесконечностях. Хотя математики недолюбливают такие термины.

между любыми двумя членами натурального ряда лежит бесконечное множество членов ряда, состоящего из действительных чисел.

а как сравнить количество атомов с количеством событий? как придумаешь так и будет . бесконечность предусматривает обычно бесконечное кол во результатов